Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Комаров И.В. -> "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции" -> 73

Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.

Комаров И.В. , Пономарев Л.И., Славянов С.Ю Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции — М.: «Наука», 1976. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): komarov_sferoidal_fnktsii1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 88 >> Следующая

h(t)=-±r \ г--«'2^((ш)Ло = Л-^(с,/). (2.37)
_«> 1=0 1=0 щ
282
Поскольку собственные значения iii(c) близки к единице при /<2с/я и быстро убывают к нулю при />2с/я (см. рис. 8), из выражения (2.35) для коэффициентов Фурье bt следует, что число N должно быть больше, чем Ent(2c/jt)-f-1, т. е. число членов разложений (2.33) и (2.32) должно быть по меньшей мере на единицу больше, чем число полуволн, укладывающихся по длине антенны. В связи с этим при больших длинах антенны часто используют более грубые, но простые способы аппроксимации заданной диаграммы направленности.
С помощью изложенного метода произведен расчет ряда конкретных задач, например синтез так называемой косекансной диаграммы направленности. Проведенные вычисления показали, что чем .меньше апертура, тем менее чувствительна аппроксимация диаграммы направленности к изменению коэффициента сверхнаправленности.
4. Собственные колебания конфокального открытого резонатора. Развитие техники лазеров стимулировало интерес к теории квазиоптических устройств, в частности открытых резонаторов. Важную роль в этой теории играют квазисобственные колебания (моды), которые можно определить как конфигурации волнового поля,
ч

и
Рис. 39. Конфокальный открытый резонатор.
достаточно устойчивые во времени. С помощью сфероидальных функций удается описать собственные колебания часто используемого на практике так называемого конфокального резонатора, определение которого дано ниже.
Рассмотрим открытый резонатор, образованный двумя одинаковыми симметрично расположенными зеркалами с квадратной апертурой (рис. 39). Расстояние между зеркалами вдоль оптической оси считаем равным
283
b, поперечный размер зеркал 2а, радиус кривизны зеркал р, волновое число k. Предполагаем, что выполнены следующие условия:
kb>l, ka>l, а/6<1, р~ Ь. (2.38)
Резонатор называется конфокальным в случае, когда р=Ь.
(Пусть волновое поле характеризуется скалярной функцией и, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца, условию Неймана на поверхности зеркал и условию излучения. Зададим функцию и на одном из зеркал. Тогда волновое поле на другом зеркале вычисляется по принципу Гюйгенса. Согласно условию сохранения конфигурации поля при отражениях, потребуем, чтобы исходное поле воспроизводило себя на втором зеркале с точностью до комплексного множителя. С учетам ограничений на геометрию зеркал (2.38) это требование приводит в приближении Кирхгофа к интегральному уравнению
°и№ = -&\"9[?т)] uiN)dS> (2'39)
s
которое обычно называют уравнением Фокса и Ли. Здесь М и N— точки на различных .зеркала.х, R(MN)— расстояние между ними. Интегрирование производится по поверхности зеркала, обращенной к другому зеркалу.
Введем ось г, направленную вдоль оптической оси, и декартовы координаты на зеркалах х, у и х', у'. Тогда расстояние R(MN) в случае конфокального резонатора представляется в виде
Я (MN) = ь - 2-±y!L + о ^ч_у! jj (2t40)
Определим безразмерный параметр с равенством
c=ka2/b. (2.41)
При больших значениях параметра с в ядре интегрального оператора (2.39) вкладом третьего слагаемого в выражении (2.40) для R(MN) можно пренебречь. Перейдя к безразмерным переменным
t=ixyc/a, s=yycja,
представим собственные функции unm(t, s) в виде
u„m(t, s)=qn(t)ym(s). (2.42)
284
После разделения переменных с учетом сделанного приближения в ядре задача сведется ;к решению одномерного интегрального уравнения
Y~h~
<VM0= \ e-"^n(f)df. (2.43)
-Y7
Собственные значения атп интегрального уравнения (2.39) представляются через собственные значения ап уравнения (2.43) формулой
i2ne-Skbamn=aman. (2.44)
Интегральное уравнение (2.43) лишь знаком в экспоненте отличается от уравнения (2.27) гл. I. Используя свойство симметрии, получаем, что собственные функции i|9ft(tf) совпадают с собственными функциями преобразования Фурье в конечных пределах, введенными в § 2 гл. I и выражаются через в. у. с. ф.
*i(t) = S0l(±g-, Ц (2.45)
Собственные значения ог(с) при четных номерах / совпадают с собственными значениями р/(с) (см. § 2 гл. I), а при нечетных номерах / отличаются знаком.
Используя известные свойства сфероидальных функций, можно получить различные (характеристики мод конфокального открытого резонатора. Например, важной характеристикой являются дифракционные потери за одно прохождение между зеркалами, которые задаются выражением
aD = 1 - iSgsi. = 1 _ J№iL. (2.46)
Из асимптотической формулы (5.42) гл. I следует, что при больших значениях с дифракционные потери убывают экспоненциально, а именно
2п+1
2 23п+'
ар
-2с]
VA1-^-[1 + 0 (с-1)] 4-
2т+1
2 0Зт+1
с 1 2
¦[1 + 0 (с-')]. (2.47)
285
Это свидетельствует о наличии каустик у 'волнового поли и о хороших резонансных свойствах открытого резонатора.
Спектр собственных частот k открытого резонатора находится из равенства (2.44). Нужно лишь учесть, что для воспроизведения поля в резонаторе приращение фазы при прохождении волны от одного зеркала к другому должно быть равным 2я<7, аде q — целое число. Отсюда получаем
Kqnm l
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed