Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
60.43. Доказать, что в условиях предыдущей задачи серии, построенные исходя из векторов Zb • • •) Zp) образуют в совокупности линейно независимую систему.
60.44. Доказать, что корневое подпространство разложимо в прямую сумму циклических подпространств.
Построить канонический базис и найти жорданову форму следующих матриц.
60.45.
60.47.
" 1 -1 0 0
1 -1 0 0
-3 3 2 2
3 -3 2 - -2
" 99 0 0 13 -і
0 99 0 0
0 13 99 0
0 0 0 99
. 60.48.
" 1 1 -2 0 "
46. 2 1 0 2
1 0 1 1
0 -1 2 1
" -3 1 0 0 0 0
-3 0 1 0 0 0
-1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -1
0 0 0 1 0 -3
0 0 0 0 1 -3
2 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0' 0
0 0 2 0 0 0
0 -3 0 2 0 0
-1 0 0 0 2 0
0 0 -5 0 0 2
60.49.
60.50. Найти канонический базис и жорданову форму оператора V2 двукратного дифференцирования в пространстве многочленов Mn, предполагая, что n = 2k + 1 - нечетное число.
Построить канонический базис и найти жорданову форму
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма 65
следующих матриц.
60.51.
60.53.
60.55.
3 2 2
3 1 3 4
5 1 1 1
-3 1 -2 1 -3 2
-1 0
1 О -1
1 5 1 1
О 5 3
-1 -1 3 -1
О О -3 -1
-1 -1 -1 3
" 4 1 1 '
60.52. -2 1 -2
1 1 4
- " 3 -1 1 -7 '
9 -3 -7 -]
60.54. О О 4 -Ї і
_ О О 2 -4 _
" 2 О 3 4 5 "
О 2 О 6 7
60.56. О О 2 О 8
О О О 2 О
- О О О О 2
' 1 -1 О -1 О "
2 -2 О -1 О
60.57. 1 -1 -1 о О
2 -1 О -2 О
2 -1 о -1 -1
60.58. Найти канонический базис и жорданову форму оператора V2 двукратного дифференцирования в пространстве многочленов Mn, предполагая, что n = 2к - четное число.
60.59. Может ли в пространстве размерности 8 существовать нильпотентный оператор Л, для которого числа г^ — rg Лк составляют последовательность 6,4,3,1,0?
Построить канонический базис и найти жорданову форму следующих матриц.
60.60.
60.62.
60.64.
О -4 -2
О О 1
2 6-9 1 3 -5 1 2 -4
3 -1 1 -2 4 -2 -2 2 0
60.61.
60.63.
60.65.
15 -6 -6 18 -12 -3 18 -9 -6
-2 -1 1 5-14 5 1 2
-4 4 2 -1 1 1' -5 4 3
66
Глава XV.Структура линейного оператора
60.66.
60.68.
60.70.
60.72.
60.74.
60.76.
60.78.
60.79.
" 3 0 -1 '
-2 1 1
3 -1 -1
' 3 -4 0 2 "
4 -5 -2 4
0 0 3 - 2
0 0 2 - 1
' -3 4 3 15 "
-1 1 0 5
0 0 -3 - 3
0 0 2 2
" 2 0 -4 0
2 3 1 1
1 0 -2 0
. -4 -6 -2 -2
' 1 1 1 0 "
-1 3 0 1
-1 0 -1 1
0 -1 -1 1
"-3 1 - 3 -2 -2"
0 - -2 1 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0_
" 3 6 1 1
0 0 4 0
-1 -2 -3 0
0 0 0 3
0 0 0 0
0 0 0 -1
" 2 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 5
2 0 1 0
0 0 0 1
60.67.
1-3 4 4-7 8 6-7 7
60.69.
60.71.
60.73.
60.75.
-2 4 0 0
-1 2 0 0
-2 4 -1 0
3 -6 0 -1
-1 0 0 1 -
-3 1 3 0
4 -3 -5 1
1 0 0 -1
" 0 0 -5 3 1
0 0 -3 1
-5 3 0 0
-3 1 0 0
4 1 1 1 -
-1 2 -1 -1
6 1 -1 1
-6 -1 4 2
60.77.
2 111 -1 0 -1 -1
112 1 -1 -1 -1 О
1112
О 0
1 0
0 1
6 1
о 4
2 -3
О 1
О
1 о
3
о
о о
-9 О -1
60.80. Доказать, что в любой жордановой форме оператора Л число жордановых клеток, отвечающих собственному значе-
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
67
нию A0, равно дефекту оператора А — A0I.
60.81. Доказать, что в любой жордановой форме оператора А число жордановых клеток, отвечающих собственному значению A0 и имеющих порядок, больший или равный к, определяется формулой tk = пк — TIk-I1 где п0 = 0, пк = def(w4 — A0X)*.
60.82. Из результата предыдущей задачи вывести соотношение tk = 2пк — rifc+i — TIk-I1 где tk - число жордановых клеток, отвечающих собственному значению A0 и имеющих порядок к.
60.83. Оператор A1 действующий в n-мерном комплексном пространстве V1 имеет собственные значения Ai,..., А* геометрических кратностей Si,..., Sk соответственно. Определить, сколько ненулевых элементов в жордановой форме оператора А.
Не вычисляя канонического базиса, найти жорданову форму следующих матриц.
" 3 1 ООО
-2 0 1 0 0
60.84. -2 0 0 1 0 . 60.85.
3 0 0 0 1
-1 0 ООО -
" 0 1 0 0 0 -і
0 0 1 0 0
60.86. 0 0 0 1 0 . 60.87
0 0 0 0 1
1 -1 -2 2 1 -
" 2 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
60.88. 1 1 -4 0 0 0
3 2 1 - ¦4 0 0
-2 2 5 7 -4 -0
4 3 8 6 0 -4
" 0 0 1 -1 0 1 "
1 0 -3 1 -1 -3
60.89. 0 1 3 0 1 2
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 -3
0 0 0 0 1 3
"5 0 6 7 9 14"
0 5 0 8 10 15
0 0 5 0 11 16
0 0 0 5 12 17 •
0 0 0 0 13 18
0 0 0 0 0 !9.
"0 0 1 1 0 0"
1 0 -3 0 1 0
0 1 3 0 0 1
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 - 3
0 0 0 0 1 3
68
Глава XV.Структура линейного оператора
60.90. Найти fc-ю степень жордановой клетки Jn(а) порядка
п.
60.91. Доказать, что значение многочлена f(A) от клетки Жордана А = Jn(X) определяется формулой
f(A) =
1!
/(А) 0 /(А)
0 О
/"(А) /"'(А)
2! 3!
/'(А) /"(А)
1! 2!
0 0
(п-1)! /'"-2>(А)
(п-2)! /(А)
60.92. Найти жорданову форму квадрата жордановой клетки, на диагонали которой стоит число а ф 0.
60.93. Найти жорданову форму квадрата жордановой клетки с нулем на главной диагонали (нильпотентной клетки Жордана).
