Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
в) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А кососимметрическая);
г) множество всех диагональных матриц (если матрица А диагональная).
59.50. Линейный оператор T1 действующий в пространстве irnxn, определен формулой TX = АТХ + XA1 где А - фиксированная матрица.
1. Доказать, что кососимметрические матрицы образуют подпространство L1 инвариантное относительно Т.
2. Установить связь между собственными значениями индуцированного на это подпространство оператора T\L и собственными значениями матрицы А.
59.51. В пространстве irnxn оператор Q задан равенством QX = A-1XA1 где А - заданная невырожденная матрица. Доказать, что следующие подпространства инвариантны относительно Q-.
§59. Инвариантные подпространства
47
а) множество всех матриц с нулевым следом;
б) множество всех скалярных матриц;
в) множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная);
г) множество всех симметрических матриц и множество всех кососимметрических матриц (если матрица А ортогональная);
д) множество всех эрмитовых матриц и множество всех KO-соэрмитовых матриц (если А - унитарная матрица и эти множества рассматриваются как подпространства 2п2-мерного вещественного пространства с^хп).
59.52. Линейный оператор Q1 действующий в пространстве
Кпхп, определен формулой QX = A-1XA1 где A= ^ Cosa
а є ir. Найти собственные значения и собственные векторы оператора Q[L1 индуцированного на подпространство:
а) симметрических матриц;
б) матриц с нулевым следом.
59.53. Пусть A0 - собственное значение линейного оператора
Л.
1. Доказать, что подпространства Lk = кет(А — A0z)*, к є n, инвариантны относительно Л.
2. Показать, что Lk С L^+1. Может ли это включение быть строгим?
59.54. Пусть пространство V является прямой суммой ненулевых подпространств L1 и L2: V = L1 © L2.
1. Пусть V - оператор проектирования на L1 параллельно L2, а Л - некоторый линейный оператор, действующий в V. Доказать, что операторы Л и V перестановочны тогда и только тогда, когда каждое из подпространств L1 и L2 инвариантно относительно Л.
2. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для оператора TZ отражения относительно L1 параллельно L2.
59.55. Пусть А и В - линейные операторы, действующие в n-мерном линейном пространстве V. Известно, что Лп = O1 defA = 1 и [B1 Л] = Л. Доказать, что оператор В имеет п собственных значений вида А, А — 1,...,А — п + 1, где А - некоторое число.
59.56. Доказать, что перестановочные матрицы А и В можно привести к треугольной форме одним и тем же подобным пре-
48
Глава XV. Структура линейного оператора
образованием. Что означает это утверждение для коммутирующих операторов Ли Bl
59.57. Пусть A1,..., A771 - собственные значения матрицы А Є Cmxm, /X1,..., /хп - собственные значения матрицы В Є Cnxn (с учетом их алгебраических кратностей). Доказать, что:
а) ran произведений XiHj, і = 1, га, j = 1, п, дают в совокупности все собственные значения кронекерова произведения А® В\
б) га + п сумм Aj + Hj1 і = 1, га, j = 1, п, дают в совокупности все собственные значения матрицы A® In + I111 ® В.
59.58. Доказать, что индекс всякого нильпотентного оператора, действующего в n-мерном пространстве, не превосходит п.
59.59. Показать, что оператор дифференцирования V в пространстве многочленов Mn, является нильпотентным. Найти его индекс нильпотентности.
59.60. Доказать, что нильпотентный оператор не имеет отличных от нуля собственных значений.
59.61. Доказать, что оператор, действующий в комплексном пространстве, является нильпотентным тогда и только тогда, когда все его собственные значения равны нулю.
59.62. Доказать, что треугольная матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее диагональные элементы нулевые.
59.63. Доказать, что ненулевой нильпотентный оператор не может иметь простую структуру.
59.64. Пусть Л - нильпотентный оператор с дефектом, равным единице. Доказать, что на любом своем инвариантном подпространстве оператор Л индуцирует нильпотентный оператор с тем же дефектом.
59.65. Доказать, что квадратная матрица (вещественная или комплексная) нильпотентна тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического многочлена равны нулю.
59.66. Пусть оператор Л приводится парой подпространств L1 и L2. Доказать, что:
а) ранг оператора Л равен сумме рангов операторов .4IL1 и .4|L2;
б) характеристический многочлен оператора Л равен произведению характеристических многочленов операторов .4IL1 и A\L2;
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма_49
в) оператор Ак при любом к Є Z является прямой суммой операторов (A\Li)k и (A\L2)k\
г) для любого многочлена f(t) оператор f(A) есть прямая сумма операторов f(A\Li) и f(A\L2).
59.67. Доказать, что оператор дифференцирования в пространстве многочленов Mn не приводится никакой парой подпространств.
59.68. Доказать, что если для оператора А любые два нетривиальных инвариантных подпространства имеют ненулевое пересечение, то оператор А не приводится никакой парой подпространств.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
