Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
а) кег А* А = кег.4; б) \тЛ*Л = im А*.
61.52. Пусть операторы А и В таковы, что В* А = О. Доказать, что образы этих операторов суть ортогональные подпространства.
61.53. Доказать, что если AB* = В* А = О, то ранг оператора А + В равен сумме рангов операторов А и В. При этом ядро оператора А + В есть пересечение ядер операторов А и В.
61.54. Найти ядро и образ оператора, сопряженного к оператору дифференцирования V, действующего в пространстве M2
§61 Сопряженный оператор
85
со скалярным произведением, определяемым: а) формулой из задачи 61.41; б) формулой (61.1) са = —1, 6 = 1; в) стандартным образом.
61.55. Оператор дифференцирования V действует в пространстве многочленов Mn с естественным скалярным произведением. Описать все инвариантные подпространства сопряженного оператора V*.
61.56. Оператор дифференцирования V действует в пространстве многочленов Mn со скалярным произведением:
а) определяемым равенством
п fc=0
б) формулой (61.1) ca = —1, 6=1.
В каждом из этих случаев найти n-мерное инвариантное подпространства сопряженного оператора V*.
61.57. Найти двумерные инвариантные подпространства оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе трехмерного евклидова пространства матрицей:
а)
г)
0 0 1
1 О о О 1 о
0 -1 -1 о
1 -1
б)
д)
3 -2 1 О
1
-3 1
3
2 1 1 1
3 -5 1
в)
-3 9 О
-3 -3 2
61.58. Пусть L - подпространство, инвариантное относительно линейного оператора Л, действующего в евклидовом (унитарном) пространстве V, Vo є С(V, L) - оператор ортогонального проектирования V на L. Доказать, что
(Л\ЬУГ0 = V0A*.
61.59. Оператор Л, действующий в n-мерном евклидовом (унитарном) пространстве V, имеет инвариантное подпространство L размерности п — 1. Доказать, что подпространство Lx натянуто на некоторый собственный вектор оператора Л*.
61.60. Оператор Л действует в n-мерном пространстве V. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что любое его инвариантное подпространство размерности п — 1 содержит образ оператора Л — A0Z, где A0 - некоторое собственное значение оператора Л.
86 Глава XVI.Линейные операторы в унитарном пространстве
61.61. Доказать, что линейный оператор A1 действующий в n-мерном вещественном линейном пространстве, имеет (п — 1)-мерное инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда спектр оператора А не пуст.
61.62. Построить ортонормированный базис (базис Шура), в котором матрица линейного оператора А трехмерного евклидова пространства будет верхней треугольной, и найти эту матрицу, если А задан в некотором ортонормированном базисе матрицей:
" 3 -2 3 ' ' -3 2 5 ' " 0 0 1"
1 2 1 ; б) 9 0 -9 ; в) і 0 0
0 1 1 0 3 3 0 1 0
" 1 2 -1 " " 3 1 -1 '
0 1 1 ; д) 2 0 -2
0 2 0 3 -1 -1
61.63. Найти все базисы Шура линейного оператора пункта д) предыдущей задачи и найти соответствующие каждому такому базису верхние треугольные матрицы оператора.
61.64. Найти базис Шура для оператора дифференцирования V, действующего в пространстве M2 со скалярным произведением, определяемым: а) формулой из задачи 61.41; б) формулой (61.1) ca = —1, b = 1; в) стандартным образом.
61.65. Доказать, что перестановочные операторы AnB1 действующие в унитарном пространстве, имеют общий базис Шура, в котором матрицы этих операторов треугольные одинакового вида.
61.66. Доказать, что любая квадратная комплексная (вещественная) матрица А унитарно (соответственно ортогонально) подобна квазитреугольной матрице В с треугольным клетками на главной диагонали, т.е. существует такая унитарная (ортогональная) матрица 5, что А = SHBS.
61.67. Оператор А действует в унитарном пространстве V. Найти связь между собственными значениями оператора А и сопряженного оператора А*.
61.68. Пусть X - общий собственный вектор сопряженных операторов Л и Л*. Доказать, что соответствующие вектору х собственные значения А и // являются комплексно сопряженными числами.
61.69. Пусть X - собственный вектор оператора A1 отвечающий собственному значению А, у - собственный вектор опера-
§62. Нормальные операторы и матрицы
87
тора .4*, отвечающий собственному значению причем // ф А. Доказать, что векторы х и у ортогональны.
61.70. Пусть Kx и К* - корневые подпространства операторов Л и Л*, отвечающие соответственно собственным значениям А и /х, причем її ф \. Доказать, что подпространства К\ и if* ортогональны.
61.71. Как связаны жордановы формы сопряженных операторов Ли Л*?
61.72. В пространстве многочленов M2 с естественным скалярным произведением найти канонические базисы Жордана для оператора дифференцирования V и сопряженного к нему оператора V*.
61.73. Доказать, что базис Шура оператора Л определен неоднозначно. Именно, для любого заранее заданного расположения собственных значений Ai,..., An оператора Л найдется ортонормированный базис унитарного пространства, в котором матрица этого оператора - верхняя (нижняя) треугольная, причем на главной диагонали стоят собственные значения Aj в указанном порядке.
§62. Нормальные операторы и матрицы
Пусть V - унитарное или евклидово пространство. Линейный оператор А Є C(VjV) называется нормальным оператором, если
