Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 60,1 (о расщеплении линейного оператора). Для
любого линейного оператора А, действующего в комплексном пространстве V, с характеристическим многочленом
/(Л) = (A1 - A)W1 ... (Ар - A)w", где А* ф Xj при і ф j, существуют инвариантные подпространства Kx1,..., КХр такие, что V = Kx1 (В ... (В КХр ;
dim KXj = rrij , і = TTp ; _
/,¦(A) = det(A\KXj - XI) = (Xj - ХГ* , і = T^.
Следствие. Для любого линейного оператора, действующего в комплексном пространстве, существует базис, в котором его матрица имеет квазидиагональную форму, у которой число диагональных клеток совпадает с числом различных собственных значений, а их размеры - с алгебраическими кратностями собственных значений, или, в матричной формулировке, любая квадратная комплексная матрица подобна квазидиагональной матрице, обладающей указанным выше свойством.
Подпространство KXj определяется собственным значением Aj оператора А и представляет собой ядро N4 оператора (A-XjI)4 в момент начиная с которого все ядра Nq+i, +2, • • • совпадают с N41 т.е. Kxj состоит из всех
векторов X1 для которых (А — X3X)kx = в при некотором к Є Z, к > 0.
Пусть Aj - собственное значение оператора А. Вектор х Є V называется корневым вектором оператора A1 отвечающим собственному значению Aj, если (А — XjX)kx = в при некотором к Є Z1 к > 0. Высотой корневого вектора называется наименьшее А;, обладающее указанным свойством.
Множество всех корневых векторов оператора A1 отвечающих собственному значению Aj, называется корневым подпространством оператора A1 отвечающим собственному значению Xj.
Таким образом, корневое подпространство оператора A1 отвечающее собственному значению Aj, совпадает с подпространством KxJ1 участвующим в расщеплении оператора А (теорема 60.1). Структура корневого подпространства Kx^ определяется цепочкой вложений:
50
Глава XV. Структура линейного оператора
если Nk = ker(Л — AjI)*, то
Wx, = Ni С N2 С ... С N4 = KXi,
(60.1)
где W\j - собственное подпространство оператора, отвечающее собственному значению Xj, q - максимальная высота корневого вектора, отвечающего собственному значению Aj.
Отметим, что для операторов простой структуры, и только для них, эта цепочка обрывается на первом шаге:
WXj = N1=Kx;.
Теорема 60.2. Пусть Л Є C(V,V) - линейный оператор, действующий в комплексном пространстве V, и его характеристический многочлен имеет вид
/(A) = (Ai-A)™1... (Ap-A)™», где Xi ф Xj при і ф j . Тогда в пространстве V существует базис е, в котором матрица оператора Л имеет квазидиагональную форму
1*
A2 I
О
о
в которой матрицы Aj, j = 1,р, имеют вид
Jq2 (Xj)
О
о
где
1
Xj
Xj 0
О
о 1
- клетка Жордана qi-го порядка с A7 на главной диагонали, количество всех клеток Жордана в матрице Aj равно геометрической кратности Sj собственного значения X3;, q\ + q2 -І- . •. 4- qSj = mj, а количество клеток к~го порядка равно числу
tk = -пк-і + 2пк - rifc+i = rk-i - 2rk + rjfc+i, (60.2)
где пк = dim Nk = def(.4 - Xjl)k, rk = rg(.4 - AjI)*.
Следствие. Для собственных значений оператора Л имеют место соотношения Ai + ... H- An = tr Л, Ai •... • An = det Л.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
51
Полученная форма матрицы линейного оператора называется жордано-вой формой, а базис е, в котором матрица оператора имеет жорданову форму Ае, - каноническим (или жордановым) базисом.
Жорданова форма матрицы линейного оператора определена однозначно с точностью до порядка клеток Жордана. Для операторов простой структуры, и только для них, жорданова форма совпадает с диагональной.
В матричной формулировке теорема 60.2 означает, что любая квадратная комплексная матрица подобна матрице, имеющей жорданову форму.
Матрица Ае, имеющая жорданову форму и подобная матрице А, называется жордановой формой матрицы А.
Если А = TAeT-1, то столбцами матрицы T преобразования подобия являются векторы канонического базиса.
Теорема 60.3. Две матрицы А,В Є СпХп подобны тогда и только тогда, когда их жордановы формы совпадают.
Теорема 60.4 (теорема Гамильтона-Кэли). Линейный оператор, действующий в комплексном (или в вещественном) пространстве, является корнем своего характеристического многочлена.
Пример 60.1. Построить корневые подпространства оператора в IR4, заданного в естественном базисе матрицей
A =
3-402 4-5-2 4
0 0 3 -2
0 0 2 -1
Решение. Найдем характеристический многочлен матрицы А. Имеем
0
3 - А -4
4 -5-А -2
0 0 3 - А
0 0 2
З-А -4 4 -5-А
З-А 2
-2 -1-А
2 4
-2 -1-А
(А + 1)2(А-1)2.
Все корни характеристического многочлена вещественны, поэтому к данному оператору применима общая теория операторов, действующих в комплексном пространстве. Оператор имеет два различных собственных значения Ai = — 1 и X2 = 1 алгебраических кратностей гаї = т2 = 2. Поэтому для него существуют два корневых подпространства Aa1 и К\2, dim Kx1 = гаї = 2, dim К\2 = т2 = 2.
1. Построим Kx1. Для этого рассмотрим матрицу. В = А — X\I = 4-4 0 2 "
-4 0 0
-2 4 4 -2 2 0
и найдем цепочку вложений (60.1).
