Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
61.37. Пусть еь ..., еп - ортонормированный базис в евклидовом или унитарном пространстве V. Матрица А линейного оператора Л, действующего в Vзадана в базисе Д,..., /п. Найти матрицу сопряженного оператора А * в базисе /1,.
/ , л Г 1 4
Cl, /2 = -ei + е2, А =
,/п, если:
а)/і б)/і в)/і
1 1
ві, /2 = 2в! + е2, А = еі + е2, /2 = еі - ге2, Л =
2 1 + t -1-і 1-і
" 0 0 2 "
r)/i = ех + е2 + е3, /2 = е2 + е3, /з = е2 - е3) Л 1 0 0
0 1 0
1 1 о :
д)Л = Єі-Є2-Є3, /2 = єх+єз+єз, /з = Є3, А = -1 1 1
2 0 1
— 2 4 1 :
е)/і = Єї + е2, /2 = е2 + е3, /3 = Єі + е3) УІ - 2 0 1
2 -4 1
ж) A = = Єї + е2, /2 = ех - е2 + Є3, /з = Єї - е2 ¦ взі
82 Глава, ХУГЛинейные операторы в унитарном пространстве
A =
1 О О
з) /і = еь /2 = іеі+е2, /з = -геі+ге2 + е3, Л =
г -г О
0 О 1
1 О 1
61.38. Скалярное произведение в евклидовом (унитарном) пространстве задано через координаты векторов в некотором базисе е. Линейный оператор имеет в базисе е матрицу А. Найти матрицу сопряженного оператора в базисе е, если:
2 г "
а) (х, у) = X1V1 - 1хху2 - 2х2уі + Ъх2у2, Л =
б) (х, у) = X1J/! + Z1Jf2 + Z2JZi + 3x2j/2, А =
1
5 -1
в) (х,у) = xij/i+ (1+г)хіу2 + (1-г)а;2Ї/і+Зх2у2, Л =
О і -і О
A =
х2Уз - Z3JZ2, Л =
(1 + і)х3у2, А =
г) (х, у) = xijzi + 5X2JZ2 + 2X3JZ3 + 2хху2 + 2х2ух - х2у3 - x3j/2, 1 1 -2
0 1 -2
1 1 О
д) (x,jz) = 2xiJ/1 + 3x2j/2 + X3Jz3 - 2xijz2 - 2x2jZi + XxJz3 + x3j/r
2-13
0 1 1
1 0 1 j
е) (x, jz) = 2xiJzT + X2JzT + 5x3jz7 + ixiyj - ix2y{ +(1- i)x2yi+ "It 0
0 1 0 0 0 -i
61.39. Линейный оператор двумерного евклидова пространства переводит векторы с координатными столбцами ах и а2 в векторы с координатными столбцами Ьх и 62 соответственно; базис, в котором заданы координаты, ортонормированный. Найти матрицу сопряженного оператора в этом базисе, если:
а) ai = (0, If, a2 = (1,3)т, Ь, = (3,1)т, Ь2 = (2,3)т;
б) ах = (1,1)т, O2 = (1,4)г, 6i = (О, -2)г, Ь2 = (-3,7)т.
61.40. Оператор дифференцирования V действует в пространстве многочленов M2 со скалярным произведением (61.1), в котором a = — 1, Ь = 1. Найти матрицу сопряженного оператора
§61. Сопряженный оператор
83
а) в базисе 1, i, t2\ б) в базисе 1, t, 3t2 — 1;
в) в базисе t2 — tit2 — 1, ?2 + t.
61.41. В пространстве M2 введено скалярное произведение
(/,5) = /(-1)5(-1) + /(O)5(O) + /(I)5(I). Найти матрицу оператора Х>*, сопряженного к оператору дифференцирования V1 в каждом из базисов, указанных в предыдущей задаче. Сравнить полученные матрицы с соответствующими матрицами предыдущей задачи.
61.42. Оператор дифференцирования V действует в пространстве многочленов M2 с естественным скалярным произведением. Найти матрицу сопряженного оператора V* в каждом из базисов, указанных в задаче 61.40.
61.43. Оператор дифференцирования V действует в пространстве многочленов Mn со скалярным произведением (61.1) с произвольными а,Ь G М: a < Ь. Доказать, что сопряженный оператор действует по правилу
2?'p(t) = -up(t) + M*). где hi(t) - многочлен степени не выше п, однозначно определяемый из соотношений
4-к J4. _ „к
Ja
Zi1 (t)tk dt = bkp(b) - akp(a), k = 0,n.
a
61.44. Оператор двукратного дифференцирования V2 действует в пространстве многочленов Mn со скалярным произведением (61.1) с произвольными а,Ь E 1: а < Ь. Доказать, что сопряженный оператор действует по правилу (V*yP(t)=V*p(t) + h2(t), где h2(t) - многочлен степени не выше п, однозначно определяемый из соотношений ь
Ja
h2(t)tk dt = W{t\h2(t))
к = 0, п,
в которых W(J', д) =
/(*) /'(*)
g{t) g'(t)
- вронскиан функций f(t) и g(t).
61.45. Доказать, что для кронекерова произведения А ® В сопряженная матрица имеет вид Ан ® Вн.
61.46. Показать, что в пространстве Спхп со стандартным скалярным произведением сопряженными для операторов QX — AXB и TX — AX + XB1 где A1 В - заданные квадратные матрицы n-го порядка, являются операторы Q*X = АНХВН и
84 Глава, ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
J7* X = А" X + XB" соответственно.
61.47. Пусть А - матрица линейного оператора в базисе е евклидова пространства, А* - матрица сопряженного оператора в том же базисе. Доказать, что A* = T-M7T, где Г - матрица Грама базиса е.
61.48. Пусть А - матрица линейного оператора евклидова пространства в некотором базисе, Г - матрица Грама этого базиса. Найти матрицу А* сопряженного оператора в том же базисе, если:
5 -2
а) A =
б) A =
в) A =
г) A =
О 2
1 1
О 1 1
,Г = ,Г =
,Г =
2 1 О -1 -1 О 1 0 -3
2 -1 1
Г =
-1 1 О
1 1
-2
1 О 2
1 2 О
-2 О 9
61.49. Доказать теорему Фредгольма: для того чтобы неоднородная система линейных уравнений Ax = b была совместна, необходимо и достаточно, чтобы столбец Ь был ортогонален ко всем решениям сопряженной однородной системы А*у = 0.
61.50. Доказать альтернативу Фредгольма: или система уравнений Ax = Ъ совместна при любой правой части Ь, или сопряженная однородная система А* у = 0 имеет ненулевое решение.
61.51. Доказать, что для любого оператора А выполнены соотношения:
