Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
60.94. Векторы канонического базиса оператора А занумеровали в обратном порядке. Как изменится матрица оператора в этом случае?
60.95. Зная жорданову форму оператора A1 найти жорданову форму оператора: а) А — A0X; б) А~1.
60.96. Найти жорданову форму матрицы
a 0 1 0 . . 0 0
0 a 0 1 . . 0 0
0 0 a 0 . . 0 0
0 0 0 0 . . a 0
0 0 0 0 . . 0 a
0 0 0 0 . . 0 0
порядка n > 3.
60.97. Показать, что если A1,...,An - собственные значения оператора A1 действующего в n-мерном пространстве (среди этих чисел могут быть и равные), то собственными значениями многочлена f(A) будут числа /(A1),..., /(An).
60.98. Доказать, что всякий оператор, действующий в комплексном пространстве, является прямой суммой одноклеточных операторов.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
69
60.99. Доказать, что всякий оператор, действующий в комплексном пространстве, можно представить в виде суммы оператора простой структуры и нильпотентного оператора.
60.100. Доказать, что оператор A1 удовлетворяющий условию A2 = X и не являющийся скалярным, есть оператор отражения.
60.101. Доказать, что оператор A1 удовлетворяющий условию Ак = X для некоторого натурального числа fc, является оператором простой структуры.
60.102. Найти жорданову форму идемпотентного оператора A1 т.е. оператора, удовлетворяющего условию Л2 = А.
60.103. В пространстве многочленов M8 найти жорданову форму разностного оператора A\f(t) = f(t + 1) — /(*).
60.104. В пространстве многочленов M8 найти жорданову форму:
а) оператора трехкратного дифференцирования;
б) оператора A2J {t) = f(t + 2) - 2f{t + 1) + /(*);
в) оператора A3f{t) = f{t + 3) - 3/(t + 2) + 3/(t + 1) - f(t).
60.105. Доказать, что если оператор A1 действующий в п-мерном пространстве, невырожден, то обратный оператор А~1 можно представить многочленом степени п — 1 от А.
60.106. Доказать, что жорданова клетка «7*(Ao) аннулируется многочленом f(t) тогда и только тогда, когда число A0 является корнем этого многочлена кратности не менее к.
60.107. Что можно сказать о жордановой форме оператора A1 если А3 = А2 ?
60.108. Пусть f(t) - заданный многочлен с комплексными коэффициентами степени n > 1. Найти необходимые и достаточные условия того, что квадратная матрица X порядка m (га > 2) удовлетворяет уравнению f(X) = О.
60.109. Пусть характеристический многочлен /(А) оператора А разложен в произведение многочленов /і(А) и /2(А), не имеющих общих корней. Доказать, что
ker /1 (А) = im /2 (А), кег /2 {A) = im J1 {A).
Выяснить, являются ли подобными указанные матрицы A1 В и С.
60.110. А =
-3 2 5 -12 8 20 3 -2 -5
,B =
59 -63 52 -147 159 -132 -244 263 -219
70
Глава XV. Структура линейного оператора
C =
60.111. A =
59 -63 52 -147 159 -132 -244 263 -218
C =
60.112. А =
3 1 -1 ' 5 5 -2 "
-3 -1 3 ,B = -2 -1 1
-2 -2 4 -1 -1 2 _
6 0 8 '
3 2 6
-2 0 - -2
-1 -1 2 ' - -8 12 -6 "
3 -5 6 — -10 18 -10
2 -2 2 -12 24 -14
0 6 6 '
-2 16 12
4 -28 — 20
C =
60.113. Доказать, что всякая комплексная матрица А подобна транспонированной матрице Ат.
60.114. Что можно сказать о жордановой форме матрицы А, если А подобна обратной матрице Л-1?
60.115. Пусть А - нильпотентная матрица, к - максимальный размер жордановых клеток матрицы А. Доказать, что индекс нильпотентности матрицы А равен к.
60.116. Доказать, что матрица А порядка п нильпотентна тогда и только тогда, когда tr(Ap) = 0 для р = 1, п.
60.117. Доказать, что жорданова клетка подобна сопровождающей матрице7 своего характеристического многочлена (матрице Фробениуса).
60.118. Доказать, что всякая комплексная матрица подобна квазидиагональной матрице, у которой все диагональные клетки являются матрицами Фробениуса.
60.119. Квадратная матрица А порядка га имеет простую структуру; известна жорданова форма J матрицы В порядка п. Найти жорданову форму матрицы: а) А ® В\ б) А ® In + I7n ® В.
7Cm. §57, задачу 57.91.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма 71
60.120. Найти жорданову форму матрицы порядка п
'11 1 1
A =
1
. е 1 -
где є - положительно и стоит на месте (n, 1), а не указанные внедиагональные элементы равны нулю.
60.121. В жордановой форме матрицы А заменим внедиагональные элементы, равные единице (если таковые имеются), произвольным числом є Ф 0. Доказать, что полученная матрица подобна матрице А.
Глава XVI. Линейные операторы в унитарном и евклидовом пространствах
§61. Сопряженный оператор
Пусть VhW- два пространства, оба унитарных или оба евклидовых, и Л Є C(V1W). Отображение A* : W —> V называется сопряженным оператором к оператору А, если
(Ах,у) = (х,А*у), VxeV,yeW.
Теорема 61.1. Сопряженный оператор линеен.
Теорема 61.2. Для любого оператора А Є C(V,W) существует, и притом единственный, сопряженный оператор.
Теорема 61.3. Операция сопряжения линейного оператора обладает следующими свойствами:
1) (А +В)* = А*+В*,
2) (аА)* =aA\
3) (AB)* = В* А*,
4) (л*)"1 = (A'1)*,
5) (AT=A,
выполненными для любых операторов, для которых определены указанные операции.
