Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
и, аналогично, ф(х')<^9(&).
СЛЕДСТВИЕ 2. Ясли ф' (х) ^ 0 в интервале (а, Ь) и 9 (a) Sa 0, /и» 9 (х) положительна в интервале (а, Ь).
Читателю следует внимательно сравнить первое из этих следствий с теоремой А. Если, как в теореме А, мы предполагаем только, что ср'(х) положительна в единственной точке х = х0, то мы можем доказать, что '¦? (xi) < ? (-?), когда X1 и X2 достаточно близки к X0 и х1<х0<х2. Действительно, по теореме А, ср (X1) < а (х0) и ср (х2) > с? (X0). Но отсюда нельзя сделать вывод, что существует интервал, содержащий х0, в котором ср (лг) является строго возрастающей функцией, так как предположение, что X1 и X2 лежат с разных сторон от х0, существенно для нашего заключения. Мы вскоре еще вернемся к этому вопросу (см. п. 125) и проиллюстрируем его на примере.
123. Максимумы и минимумы. Говорят, что функция ф(х)при x = ij имеет максимум 9(c), если 9 (с) больше любого другого значения, принимаемого 9(х) в непосредственной близости от X = с, т. е. если мы можем найти такой интервал (?¦—е, u-j-s) значений х, что 9(;)^>9(х), когда ?— е<^х<^с и когда X<^х<^%-4-е. Аналогично определяется минимум. Точки А соответствуют максимумам, а точки В ¦— минимумам функции, график которой изображен на фиг. 36. Следует заметить, что то обстоятельство, что A3 соответствует максимуму, a B1-—-минимуму, вполне совместимо с тем, что значение функции в B1 больше чем в A3.
ТЕОРЕМА С. Необходимым условием для того чтобы 9 (?) было максимумом или минимумом дифференцируемой функции ф(х), является о' (с) = 0.
230
Г лава шестая
Это сразу следует из теоремы А. Что условие не является достаточным, видно из рассмотрения точки С на фиг 36. Так, если V=X3, то ср'(х) = 3лг5, что обращается в нуль при х=0. Но х = 0 не дает ни максимума, ни минимума х3, что видно на графике этой функции (фиг. 9, стр. 53).
Но 9 (S) будет заведомо максимумом, если 9' (?) = 0 и 9' (х) ^> 0 для всех значений х, меньших \, но близких к \, а 9'(х)<^0— для всех значений х, больших но близких к ?. А если имеют место неравенства, обратные двум последним, то 9 (?) будет минимумом. Ибо тогда мы можем (по следствию 1 п. 122) найти такой интервал (? — є, ?), в котором ф(х) возрастает с возрастанием х, и такой интервал (?, ?-{-г), в котором она убывает с возрастанием х.
Этот результат может быть сформулирован и так: если знак о'(х) меняется при X = ? с положительного на отрицательный, то 9(х) достигает максимума при х = ?, а если знак 9' (х) меняется в обратном направлении, то 9(х) достигает минимума.
Максимум, как он был определен выше, является максимумом в строгом смысле этого слова: о (6) > о (х) для всех х, близких к ?. Мы могли бы ослабить наше определение и требовать только выполнения неравенства 9(S)Ss=T(x) для всех х, близких к ?. При таком определении постоянная имела бы, например, максимум (и минимум) при каждом значении переменного. Теорема С все же имела бы место.
Максимумы и минимумы иногда называют экстремальными зна"**-ниями.
124. Можно указать еще другие условия существования максимума и минимума, которые часто оказываются полезными. Предположим, что 9(х) имеет вторую производную 9"(х)» существование 9" (х), конечно, вовсе не следует из существования 9' (х), точно так же, как существование 9' (х) не следует из существования 9 (х). Но в большинстве тех случаев, с которыми нам придется иметь дело, функции обладают вторыми производными.
Фиг. 36
Производные и интегралы
231
ТЕОРЕМА D. Если ср' (5) = 0 и ср"(?)^ 0, то ep(je) имеет максимум или минимум при х = \, точнее — максимум, если (?"(1)<^0Г
U минимум, если ср"(с;)]>0.
Допустим, например, что 9"(?)<С0. Тогда, по теореме А, ер' (jc) положительна, когда х меньше ?, но достаточно близко к нему, и отрицательна, когда х больше ?, но достаточно близко к нему. Таким образом, ер (jc) при х = Х имеет максимум.
125. Выше мы предполагали, что <s(x) имеет значений X в рассматриваемом интервале. Если это ряется, то теоремы пірестают быть справедливыми. Так, теорема В не верна для функции
v = I- УД
где корень квадратный берется со знаком плюс. График этой функции изображен на фиг. 37. Здесь ср (—1) = 0, Cf(I) = O, но ш' (х), как видно из чертежа, равна 1 для отрицательных лг, и — 1 для положительных х, и никогда не обращается в нуль. При х = 0 производная не существует и не существует касательной к графику в точке Р. Однако при v = 0, очевидно, имеется максимум ср (х), но .достаточное условие максимума неприменимо. Мы предполагали только существование
производную для всех условие не удовлетво-
У
P
7
о
1 X
Фиг. 37
В частности, мы не
предполагали, что у'(х) сама является непрерывной функцией. В связи с этим возникает следующий интересный вопрос: может ли функция cf(jr) иметь производную для всех значений х, которая не является непрерывной функцией? Другими словами, может ли кривая иметь касательную в каждой точке, причем, однако, направление касательной не меняется непрерывно? Интуиция нам как будто подсказывает отрицательный ответ; но не представляет большого труда показать, что это не так.
