Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае данная функция разрывна. В дальнейшем мы будем, однако, как правило, предполагать, что 4' (х) непрерывна. Тогда ответ будет утвердительный: если (х) непрерывна, то всегда существует такая функция ср (д:), что ср' (л:) = (х). Доказательство этого утверждения будет дано в гл. VII.
(2) Второй вопрос не представляет никаких трудностей. В случае дифференцирования мы имеем определение производной, из которого с самого начала ясно, что не может существовать более одной производной. В обратной задаче ответ одинаково прост. Если ср (л:) является решением задачи, то ср (д:) -|- С будет также решением при любом значении постоянной С, причем в формуле ср (д:) -J- С содержатся все возможные решения. Это сразу следует из п. 127.
(3) Задача фактического нахождения ср' (д:) весьма проста, если ср(дг) — любая функция, определенная некоторой конечной комбинацией обычных функциональных символов. Обратная задача гораздо сложнее. Природа возникающих в ней трудностей станет нам более ясной позже.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Если ^ (х) является производной от~о(х), то ~о(х) называется интегралом от ^(д:)*). Операция нахождения ф(л) по заданной (х) называется интегрированием.
Применяется следующее обозначение:
ср (л:) = Jt}) (л:) dx.
Вряд ли нужно особо подчеркивать, что символ I ... dx, так же
d J
как и^-> Должен рассматриваться пока только как символ некоторой операции; символы J* и dx сами по себе ничего не означают (как ничего не означают и взятые по отдельности символы d и dx)>
*) Часто употребляется также термин „первообразная" или „примитивная". Однако мы все же придерживаемся терминологии автора. (Прим. переь.)
Производные и интегралы
243
131. Задача практического интегрирования. Результаты первой части настоящей главы позволяют нам сразу же записать интегралы от некоторых простейших функций. Так,
J xmdx = . J cos х dx = sin x, Jsinxrfx =— cosx. (1)
Эти формулы следует понимать так, что функция, стоящая в правой части, является лишь одним из интегралов функции, стоящей под знаком интеграла. Наиболее общий интеграл получается, конечно, прибавлением к функции в правой части постоянной С, так называемой произвольной постоянной интегрирования.
В случае т = —1 первая из формул (1) теряет смысл, что и следовало ожидать, так как мы уже видели (см. пример XLII. 4),
что J- не может быть производной многочлена или рациональной
дроби.
Существование такой функции F(x), что DxF(x)z=~, будет
доказано в следующей главе. Эта функция заведомо не является ни многочленом, ни дробно-рациональной функцией; можно даже доказать, что она не является алгебраической функцией. Более того, доказывается, что FLx) — существенно новая функция, не выражающаяся никакой конечной комбинацией рассмотренных выше элементарных функций. Доказательство этого факта выходит за рамки настоящей книги, но в гл. IX мы вернемся еще к этому вопросу и подвергнем свойства функции F(x) систематическому рассмотрению.
Предположим сначала, что х положительно. Тогда мы будем писать
dx\nx, (2)
и назовем функцию в правой части этого равенства логарифмической функцией. Пока она определена только для положительных значений х.
Предположим, далее, что х отрицательно. Тогда —х положительно и, следовательно, In (— х) определено. Но
d . , . —1 1
-г- ІП (-Х) = - = — .
dx v ' —х Xі так что, когда х отрицательно,
^=ш(-х;. (3)
Формулы (2) и (3) могут быть объединены в следующую формулу:
X
J
^ = ln(±*) = ln|*|, (4)
16
244
Глава шестая
¦где знак следует выбирать так, чтобы ±х было положительно. Эти формулы имеют место для всех действительных значений X, отличных от 0.
Основные свойства In х, которые будут доказаны в гя. IX, выражаются соотношениями
In 1 = 0, In — = — In х, In ху = In X -4- 1п_у,
из которых второе является очевидным следствием первого и третьего. Для целей настоящей главы эти свойства по существу не нужны, но иногда они окажутся нам полезными, так как с их помощью мы сможем записать некоторые формулы в более компактном виде.
Из последнего приведенного свойства логарифмической функции следует, что In Xі равен 21пх, если х>0, и 2 In (—х), если х < 0, т. е. в обоих случаях равен 21п|х|. Таким образом, (4) эквивалентно
Формулы (1) — (5) принадлежат к числу основных формул интегрального исчисления. К ним можно добавить еще следующие две:
Jг-г—і = arc tg х, [—7^— = -+- arc sin x (6)
1 + x» s J ]Л — xа ~
132. Многочлены. Все общие теоремы п. 114 могут быть сформулированы как теоремы интегрального исчисления. Так, например, мы имеем следующие формулы:
${f(x) + F{x)\ dx = J/(x)tfx + §F{x)dx, (1)
§kf(x)dx = kjf(x)dx. (2)
Здесь, конечно, предполагается, что произвольные постоянные соответствующим образом подобраны. Так, формула (1) утверждает, что сумма любого интеграла от /(х) и любого интеграла от F(x) является некоторым интегралом от /(х) -(- F(x).
Эти теоремы позволяют нам сразу написать интеграл от любой функции вида SjA^ (х), т. е. линейной комбинации с постоянными коэффициентами конечного числа функций, интегралы от которых известны. В частности, мы можем сразу написать интеграл от многочлена, а именно,
