Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
ВИД5х' И П° многим причинам представляется удобным обозначить предел
этой дроби, т. е. ср'(х), через Но это обозначение должно пока рассматриваться как чисто символическое. Выражения dy и dx, встречающиеся в нем, не могут быть разделены, и сами по себе они ничего не обозначают; в частности, dy и dx не означают lim Sy и lim Sx, так как эти пределы равны нулю. Читателю следует привыкнуть к этому обозначению, но если оно его затрудняет, то его можно избежать, записывая дифференциальный коэффициент в виде Dxy или применяя обозначения ср (х), ср' (х), как мы это делали в предыдущих пунктах настоящей главы.
216 Глава шестая
ys ' dx у/ '
(6) если у является функцией от х, a z — функцией от у, то
dz_dz dy _
dx dy dx'
dy _ 1
(7) dx dx
W
Примеры XL. 1. Если у =yiy,y3, то
dx -ysy* її +УгУі lbc +УіУ* ~d7' а если у=уіу2 ...уп, то
п
dy vi dyr
2у^ -Уп її-
d п dy „ . dz dy , „ ,
В частности, если y = zn, то -^ — uz а еслиу = х", то ^г~ПА »
как было уже иначе доказано в примере XXXIX. 3. 2. Если у =ylys.. .уп, то
у dx у і dx ys dx' уп dx
г, 1 dy и dz
В частности, если у = г", то —-г- =—-т- • * у dx z dx
117. Основные формулы. Перейдем теперь к более систематическому исследованию производных некоторых простейших типов функций.
А. Многочлены. Если ср (х) = а0х" -f- U1-Xr"""1 -f-... -j- ап, то со' (X) = па^-1 + (п — 1) U1X"-* + . • • + a„_t.
Однако в гл. VlI мы увидим, каким образом оказывается возможным определить символы dx и dy так, чтобы они имели самостоятельное значе-
dy
ние и чтобы производная действительно была их отношением.
Теоремы п. 114 могут быть, конечно, записаны и в этих обозначениях. Они могут быть сформулированы следующим образом:
і dy dy% , dy«
(1) если у^Уг+у» то ? = ^-+-2-;
(2) если y = kyt, то % = к^±;
(3) если y = yiy*mod?=y1?f+y^;
... 1 dy 1 dy,
(4) если у = у-, то =
rfyi dys
/г. Уі dy уг dx Уі dx
(5) если у = —- , то-?-= ¦
Производные и интегралы 217
*) В русской литературе это символическое обозначение совершенно не применяется. (Прим. пер ев.)
Иногда бывает удобнее принимать запись многочлена степени п относительно X в так называемой биномиальной форме
а0х" + ( * ) O1X*-* + ( 2 ) а*х™ + ••¦ + *»• В этом случае
ср' (X) = п {айх*-1 + (" 7 *) + (" 7 *) а**Л~3 + • • • + <Vi } •
Биномиальная форма ер (лг) символически часто записывается следующим образом *):
(а0, а,..... а„ ? л, 1)Л,
и тогда
ср' (л) = п (а0> а,,..., ап_,Хл, I)""1.
B дальнейшем мы увидим, что многочлен ер (л) всегда можег быть представлен в виде произведения п множителей:
ер (х) = а0(х — OC1) (х — ас2)... (X — ас„),
где а — действительные или комплексные числа. Тогда
ср' (X) = а0 J (X — а2) (X — а3)... (X — «„),
причем эта сокращенная запись обозначает, что следует образовать-все возможные произведения из л — 1 множителей и затем их сложить-Этот результат остается в силе и в том случае, когда некоторые из чисел ас равны между собой; тогда некоторые слагаемые в правой части повторяются. Читатель легко установит, что если
ер (X) = U0(X- Ct1)™! (X — ac2)m2.. .(X — <xv)mv,
то
ср' (х) = а0 2 mt (X — S1)"1!-1 (X — a2)ms... (л — av)mv.
Примеры XLL 1. Показать, что если ср(лг)— многочлен, то <?' (х) является коэффициентом при ft в разложении «>(x-\-h) по степеням ft.
2. Если ср (лг) делится на (лг —а)2, то ср'(лг) делится на лг — а; вообще, если ср (лг) делится на (лг — а)т, то ср' (лг) делится на (лг — а)т~1.
3.'Наоборот, если ср (лг) и <р'(лг) оба делятся на лг — а, то ср (лг) делится на (лг — а)2, и если ср (лг) делится на лг — а, а ср' (лг) — на (лг — а)т~1, то ср (лг) делится на (лг — а)т.
4. Показать, как можно наиболее полно определить кратные корни уравнения Я(лг) = 0, где P(лг) — многочлен, вместе с порядками их кратности, при помощи элементарных алгебраических действий.
[Если H1 есть общий наибольший делитель P и Я', H3 — общий наибольший делитель /Z1 и Я", Hs — общий наибольший делитель H2 и P'" и т. д.,
Jj Jj
то корни уравнения —Vs^ = O являются двойными корнями уравнения P=O,
218 Глава шестая
яорни уравнения —h^- = 0 — тройными корнями и т. д. Однако может ока-" і
НлН. HJi1
заться невозможным до конца решить уравнения мг = 0, —¦ф = 0,____
"і "3
// //
Так, например, если Р(х) = (х — If (Xs — х — If, то -~ = г- х- 7и
"і
HaHi . 1
—= ;с — 1, и мы не можем решить первое уравнение.]
5. Найти все корни, вместе с порядками их кратности, уравнений:
Xі + Зл:3 - За:2 - И*-6 = 0, х« 4-2х5 - 8jc* - 14лг> 4-11л:2 4-28л: 4-12 = 0.
6. Если уравнение ах2 4- 26л: 4- с = 0 имеет двойной корень, т. е. имеет вид
л(х— а)2 = 0, то 2(ах + Ь) должно делиться на х — а, так что а =—~ . Это
значение X должно удовлетворять уравнению. Проверить, что полученное условие сводится к ас — 62 = 0.
7. Уравнение
-J-4- * +_і_-о
х-а 1 X — а ' х — с
