Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
(Экз. 1934 г.)
34. Две точки AuB лежат на прямой по разные стороны и на равных расстояниях от фиксированной точки О этой прямой, a P — фиксированная точка, не лежащая на ней. Показать, что AP + BP возрастает с возрастанием AB.
(Экз. 1934 г )
35. Найти длины и направление осей конического сечения
ax*+2hxy-{-bf' = \.
[Длина г полудиаметра, образующего угол 8 с осью х, определяется из соотношения
^ = а cos2 O 4- 2Л cos в sin в -j- A sin2 в.
2ft
Условием максимума или минимума г является tg 26 = -—. Исключая 6 из этих двух уравнений, находим:
36. Наибольшим значением ах+ by, где х и у положительны и х2 + ху + 4-_у2 = Зх2, является
2%У7* — ab + А2. ^Если ах+by имеет максимальное значение, то
a + bd/-=0. dx
Из соотношения между х и у находим, что
(2x+y) + (x+2v)dy = 0,
dy 1 и исключаем -г—.
dx J
37. Наибольшим значением хтуп, где х и у положительны и x+y = k, является
mmnnkm+n (т+п)т+" '
38. Если 6 и ср — острые углы, связанные соотношением
a sec 6 -J- b sec es = с, где а, Ь, с положительны, то a cos 6 + b cos ср имеет минимальное значение
при 6 = ср.
238
Глава шестая
126. Теорема о среднем. Мы можем теперь перейти к доказательству другой общей теоремы большой важности, которая обычно именуется теоремой о среднем значении, или просто теоремой о среднем.
ТЕОРЕМА. Если ср(х) непрерывна в замкнутом интервале (а, Ь) и дифференцируема в открытом интервале, то существует значение ? между а и Ь, для которого
<?(*) —?(<*) = (& —а)?'Ю-
Прежде чем приступить к строгому доказательству этой теоремы, которая является одной из наиболее важных теорем дифференциального исчисления, представляется целесообразным отметить ее очевидный геометрический смысл. Он заключается просто в том, что если кривая APB (фиг. 40) имеет касательную во всех своих точках, то на ней должна существовать такая точка Р, в которой касательная параллельна AB. Действительно, <р'(?) есть тангенс угла,
который касательная в точке P образует с ОХ, а
Фаг. 40
есть
Рассмотрим функ-
тангенс угла, который AB образует с ОХ.
Строгое доказательство теоремы несложно, цию , _
9 (ft) - ? (JC) - ? {?(*)-?(<*)},
которая обращается в нуль при jc = а и х = Ь. Из теоремы В п. 122 следует, что существует такое значение Ї, при котором производная этой функции обращается в нуль. Но эта производная равна
•в Ib) — 9 (а) ,, .
что и доказывает теорему. Отметим, что мы не предполагали <?'(*) непрерывной.
Следующая запись теоремы о среднем часто представляется удобной:
9(ft) = 9(a) + (* —O)9' [а+ 6(0 —а)],
где 6 означает некоторое число, лежащее между 0 и 1. Выражение a-f-6(& — а) означает, конечно, ,некоторое число S, лежащее между а и Ь". Если мы положим b = a-\-h, то получим:
9і; + Л) = ф(а) + йф' (а + ЄЛ).
Производные и интегралы 239-
9(b)—9(a) = (b—a)ср' {a -f 6(b — а)} = 0.
Теорема о среднем чаще всего формулируется именно в этой форме.
Примеры XLVII. 1. Показать, что
9(Ь)-?(х)~%=? {?(*)-?(«)}
есть разность между ординатами точки на хорде и соответствующей точки-иа кривой.
2. Проверить теоргму для cp(x)=xs и cp(x) = .vs. [В последнем случае мы должны доказать, что
/j3_
?--- 35",
Ь — а
где й<;<6, т. е. что если ~ (Ь° + ab -f- as) = то ? лежит мгжду я и 6.]
3. Определить значение ? из теоремы о среднем, когда
f(x) = x (X-1)(х-2), a = 0,b=L.
(Экз. 1935 г.)
4. Доказать следствие 1 п. 122 с помощью теоремы о среднем. Доказать также, что если ^'(х)^0 то, <?(х) является функцией, возрастающей н слабом смысле.
5. Доказать с помощью теоремы о среднем теорему, сформулированную в конце п. 125.
[Так как 9'(O)= с, то мы можем найти такие малые положительные 0U)-Y(O)
значения х, что -—--'—^-l. почти равно с; отсюда, по теореме о среднем, следует существование малых положительных значений Е, для которых 9'(E) почти равно с, что противоречит' соотношению 1іШ9'(д:) = й, если а
X -» + а
не равно с. Аналогично доказывается, что Ь = с.\
6. Применить теоргму о среднем к доказательству теоремы (6) п. 114, в предположении, что производные непрерывны.
[Мы имеем
F{f(x + h)}-F {/(*)} =F{f(x)+hf (t)}-F{f(x)} = hr(i)F (г,),
где 5 лежит между X и X -j- Ну ц (j — между f (х) и / (д:) + hf (ё).]
7. Доказать, что если
го уравнение o0x™ -f- o1at^-1 -f- ... +а„_!х+ап = 0 имеет по крайней мере один корень между 0 и 1.
(Экз. 1929 г.)
127. На теореме о среднем основывается также доказательство одной теоремы, играющей основную роль в теории интегрирования, а именно: если cp'(jc) = 0 для всех значений х из некоторого интервала, то <р(х) постоянна в этом интервале.
Действительно, если а и b — два значения х из этого интервала,.
то
240
Г лава шестая
Из теоремы сразу следует, что если ср' (х) = <f' (х) в некотором интервале, то функции со (х) и <Ь (х) отличаются в этом интервале только на аддитивную постоянную.
123. Теорема Коши. Существует обобщение теоремы о среднем, принадлежащее Коши, которое имеет важные приложения (см., например, п. 154).
