Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
может иметь равные корни в том и только в том случае, когда а = 6= с.
(Экз. 1905 г.)
8. Показать, что уравнение
алг8 4- 36л:2 4- Зсл: 4- d = 0 имеет двойной корень, если
G2 4- 4Я3 = 0,
аде
H = ac-b*, G = аЧ — ЪаЬс + 26s. [Положим ах + Ь=у и сведем уравнение к виду у34-ЗЯу4-О=0.
Это уравнение должно иметь общий корень с у2 + H=Q.]
9. Проверить, что если а, ?, у, S суть корни уравнения
ах* + \Ьхъ + бел:2 4- 4At 4- й = 0, то уравнение, корнями которого являются
Y1 а {(« - ?) (у - S) - (Т - а) 0 - 5)}
и два аналогичных выражения, получаемых из этого круговой перестановкой а, ? и у. имеет вид
ty-g^y — #3 = 0,
где
g2=ae — 4bd + Зс2, gz--- асе + 2bcd — ad1 — еЬг — сг.
Ясно, что если два из чисел а, ?, т, 5 равны, то приведенное кубическое уравнение будет иметь два одинаковых корня. Применяя результат примера 8, мы выведем, что gl—-27g| = 0.
10. Теорема Ролля для многочленов. Если у(х) — любой многочлен, то между каждой парой корней уравнения ср(л-) = 0 лежит корень уравнения ср' (х)= 0.
Доказательство этой теоремы для более общих классов функций будет цано позже. Здесь мы приводим алгебраическое доказательство, применимое
Производные и интегралы 219
R'(X) :
{Q(X)}2
и по этой формуле мы можем вычислить производную любой дробно-рациональной функции. Однако получаемое выражение для производной иногда можно упростить. Оно не будет упрощаться, если Q (х) и Q' (х) не имеют общего делителя, т. е. если Q (х) не имеет кратных корней. Но если Q (х) имеет кратные корни, то полученное выше выражение для R (х) может быть упрощено.
При дифференцировании дробно-рациональных функций часто оказывается удобным разложение на простейшие дроби. Предположим, что Q (х) (как в п. 117) представлено в виде
а0(х — Ot1)^i(X — а.3)т2 ... (х — av)mv.
В учебниках по алгебре доказывается, что R(x) тогда может быть представлено в виде
П(*)-
X-Ct1 ' (X-S1)2 ' ' (.V-S1)"1!
X-ol2 (X — O2)2 (X — S2)"*2
где П(х)—многочлен, т. е. в виде суммы многочлена и нескольких слагаемых типа
А
(х — а)Р '
где а есть корень уравнения Q(x) = 0. Мы уже знаем, как найти производную многочлена, а из теоремы (4) п. 114, или, если а ком-
только к многочленам. Предположим, что а и ?— два следующих друг за другом корня кратностей т и я соответственно, так что
ср (х) = (х — a)"» (X — Я)" Є (х), где 6(х)— многочлен, не меняющий знака для a sgrx =?,?. Тогда
^ (X) =
= (дс — а)т (х — ?)n 6' (X) -{-{т(х — а)"*"* (д: — ?f 4-Я (дг—ct)m (дг —?)""1} G (лг)= = (дг —а)"»-» (дг — Я)Я-1[(ж:_а)(х — ?)Q' (х) 4- {/Я (х — ?) -f Я (х — а)} 6(х)] = = (х — а)"»-1 (дг — ?)"-i (д-),
причем F(а) = т (а — ?)9(a) и F(?) = n($ — <*)6(?) имеют разные знаки. Следовательно F(x), а значит и tp'(дг), обращаются в нуль при некотором значении X между а и ?.
118. В. Дробно-рациональные функции. Если
где P и Q — многочлены, то из (5) п. 114 сразу следует, что
P' (х) Q (X) ~P(x)Q' (X)
220 Глава шестая
И'(х)
(X-Ct1? {X-Cc1)* ¦¦¦ (x-4f (x-nf ¦¦¦ ¦
Между прочим, мы доказали, что производная хт равна тхт~г для всех целочисленных значений т, как положительных, так и отрицательных (если т отрицательно, то х должно быть отлично от нуля).
Метод, изложенный в этом пункте, оказывается особенно полезным в тех случаях, когда нужно дифференцировать дробно-рациональную функцию несколько раз (см. примеры XLV).
Примеры XLIL I. Доказать, что
dl X \_ 1-х8 d Д—х2\____4х_
dx\l 4-x2J~(l -fx2)2' rfx\14-x2J~ (14-х*)2'
2. Доказать, что
dl axi + 2bx + c \ (ах 4- b) (Bx + С) — (bx + c) (Ax + В) ах\Ах* + 2Вх + С)~ (Ахг + 2Bx + Cf
3. Если Q имеет множитель (х — а)т, то знаменатель /?' (после приведения Р/ к простейшему ниду) делится на (х — а)т+1, но ни на какую высшую степень X — а.
4. Знаменатель /?' не может содержать множитель х — а н первой степени. Следовательно, дробио-рациональная функция, знаменатель которой содержит простой множитель, не может быть производной дробно-рациональной
функции. Например, — не является производной дробно-рациональной функции.
119. С. Алгебраические функции. Результаты предыдущих пунктов и теорема (6) п. 114 позволяют нам находить производные любых явных алгебраических функций.
Такой наиболее важной функцией является хт, где т — рациональное число. Мы уже видели (см. п. 118), что производная этой функции равна тхт~г, если т—-положительное или отрицательное^ целое число. Покажем теперь, что этот результат остается в силе (при условии, что X^tO) и для всех рациональных значений т. Положим у = хт = х^ч, где р и q—-целые числа и q положительно, и пусть z = xj/4, так что х = zq и y = zp. Тогда
dx dx q Iz
плексно, из ее расширения, упомянутого в п. 115, сразу следует, что-производная последней дробно-рациональной функции равна
_рА (х—ау'1___рА
(x — afP~ (X — ay?+1 •
Теперь мы можем записать производную общей дробно-рациональной функции /?(х) в виде
A11 2А1Л /42
Производные и интегралы 221
