Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Из системы / интервалов і мы можем, по теореме Гейне—Бореля, вьт брать конечную подсистему, покрывающую весь интервал (a,J>). Ясно, что конечная система функций <fi(x), соответствующих интервалам'г выбранной подсистемы, определяет единственную обратную функцию ср (х), непрерывную во всем интервале (а, V).
Таким образом, мы получаем теорему: если X = F (у), где F (у) непрерывна и строго возрастает от А до В, когда у возрастает от а до Ь, то существует единственная обратная функция у = ср (х), непрерывная и строго возрастающая от а до Ь, когда х возрастает от А до В.
Следует отметить, что эта теорема может быть получена без помощи более трудной теоремы п. 109. Предположим, что Л<?<?, и рассмотрим класс значений у таких, что 1° а<у<# и 2° F(у) 5. Этот класс имеет точную верхнюю грань rj, причем F(-q)^i. Если бы F(-q) было меньше 5, то мы могли бы найти такое значение у, что у >•»] и F(y)<k, и і] не могло бы быть точной верхней гранью рассматриваемого класса. Следовательно, F(V) = Z- Уравнение F(y) = ? имеет, таким образом, единственное решение _у = •»I = Cp(C;). Ясно также, что т] монотонно и непрерывно возрастает вместе с ?, что и доказывает теорему.
Пределы функций от непрерывного переменного 203
[Применить формулу jAjc+o — l/^jc = — а ,-— 1
1/*+о + }Лс J'-
6. Показать, что Ух+ а = ]/~х+ 2 ^1+^)' где величина
первого порядка малости при больших х.____
7. Найти такие значения о и f, чтобы выражение у ах2 + 2Ьх + с — ах —? имело пределом нуль при x—-со, и доказать, что тогда
Ji^0x {Уах* + 2Ьх+е -ах-?}=%=~.
8. Вычислить lira jc3
x -* oo
{ Уx2+Y^ +1—xV2\.
9. Доказать, что sec л: — tgje^O при jc — ~ ic.
10. Доказать, что ср (*) = 1 — cos(l —cosx) — четвертого порядка малости
cp (jC)
при малых jc, и найти предел -'-—^-при jc —0.
11. Доказать, что cp(x) = x:sin(ainjc) — sin2 jc — шестого порядка малости
ср (je)
при малых jc, и найти предел при х — 0.
12. Из точки P иа продолжении радиуса OA некоторой окружности проведена касательная PT к этой окружности, касающаяся ее в точке Т, и
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ V
1. Показать, что в общем случае
_a^ + bx^-r... + k _ H Axn + Bx"-' + ...-t-K —а х V^Vh .
а . ЬА — аВ
где а = д-, ? = —д2- и tj — величина первого порядка малости при
больших х. Указать исключительные случаи.
2. Определить а, ? и T так, чтобы
ах2 + Ьх + Cj |_ , у
Лх2-{-бл:+С j-* ' X "Г" .V^11^1W'
где tj — величина первого порядка малости при больших х. Указать исключительные случаи.
3. Показать, что если Р(х) обозначает многочлен ахп + Ьхп~1 +... + к, первый коэффициент а которого положителен, то
P(a-+ ft)— P (X)
и
P (х + 2 ft) — 2Р (л: + ft) + P (л:)
монотонно возрастают, начиная с некоторого значения х.
4. Доказать, что
P (jc + ft) — P (je) — nhaxP-1, P (jc + 2ft) — 2Р (JC + ft) -j- P (jc) ~~ я (ft — l)ftW-s
при JC —»-O0.
5. Показать, что Ига
204 Глава пятая
перпендикулярно к OA проведено TN. Показать, что I, когда P при-
ближается к А.
13. К дуге окружности проведены касательные в ее концах и середине. Пусть Д — площадь треугольника, образованного хордой дуги и двумя касательными в ее концах, Д' — площадь треугольника, образованного тремя
Д
касательными. Показать, что —- 4, когда длина дуги стремится к нулю,
14. При каких значениях а
а 4- sin —
X
X
стремится (1) к со, (2) к —со при Х-^0?
[К оо, если а>1, к —оо, если й< —1; в остальных случаях функциа колеблется].
15. Если ср(лг) = — при X=^ и tf(x) = 0 при иррациональном х, то
<р(х) непрерывна при всех иррациональных значениях х и разрывна при всех рациональных значениях х.
16. Показать, что функция, график которой изображен на фиг. 29, представляется любой из следующих двух формул:
I —л- + [х} — [1 —х), 1-х— lira (cos2"+1™)-
я-»оо
17. Показать, что функция <?(х), равная 0 при х=0, равная -^-—х
II 13I1 прн 0<дг<;-2-> равная у при х= -^-, равная -^- — х при -^- < х < 1 и
равная 1 при х=1, принимает каждое значение между 0 и 1 один и только один раз, когда х возрастает от 0 до 1, но имеет разрывы при дг = 0,
х=-^ и х=1. Показать также, что эта функция может быть представлена формулой
\-х + ^[2х]-\[\-2х].
18. Пусть <р(х) = х, когда х рационально, и ср(х)=1 —х, когда х иррационально. Показать, что у(х) принимает каждое значение между 0 и 1 один и только один раз, когда х возрастает от 0 до 1, а вместе с тем <f(x)
разрывна при каждом значении х, кроме х = -^.
19. Доказать, что функция, которая возрастает в каждой точке интервала (а, Ь), является возрастающей функцией в (а, Ь).
Показать также, что функция, которая „возрастает справа" в каждой точке интервала (а, Ь), не обязательно является возрастающей в (а, Ь), но
что если она непрерывна, то она возрастает в (а, Ь). (Экз. 1926 г.)
[Мы говорим, что „<р(лг) возрастает в точке х", если 1° ср (х') ^ ср (х) для всех х' из некоторого интервала справа от х и 2° ср (х') ^ ср (х) для всех х' и некоторого интервала слева от х. Если дано только 1°, то мы говорим, что „ср (лг) возрастает справа".
