Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Мы должны доказать, что ср (дг2) rg;cp (je,), если a =?: X1 < х» ^ Ь. Разобьем точки ? интервала (х,, Ь) на два класса L и R1 относя Sj к L, если <Р (-V)SS=Cp(x1) для всех дг'из (x1, Sj), и к R — в противном случае, и обозначим через {3 число, соответствующее этому сечению. Утверждение будет доказано, если мы покажем, что ? = b (т. е. что класс R не существует).
Пределы, функций от непрерывного переменного 205
Если ?<& и ср O)Ss= tp (лг,), то, по условию Г, мы можем найти такой интервал справа от ?, что в нем ср (х) Ss ср Q)Ss ср (X1), а это противоречит определению р. Пока мы воспользовались только условием 1°.
Если условие 2" также имеет место, то существуют точки слева от ?, в которых ср (х) s=S ср Q) < ср (X1), а это опять противоречит определению ?. Следовательно, ? = Ь, что и требовалось доказать. То же утверждение имеет место, если дано только 1°, но ср (х) непрерывна, так как тогда ср (х) < ср (X1^ для значений х слева от ?, но достаточно близких к ?.
Пример а = 0, b = 2, /(х) = х для 0^х< I, /(х) = дг— 1 для I ^х^2 показывает, что утверждение не следует из одного условия 1°.]
20. Когда X возрастает от--я до -^- я, у = sin х непрерывна и строго
возрастает от —1 до 1. Вывести существование функции лг= arc smy, которая является непрерывной и монотонно возрастающей функцией от у, когда у возрастает от —1 до 1.
21. Показать, что наименьшее по модулю значение arctg_y непрерывно
для всех значений _у и монотонно возрастает от — ^it до -^- я, когда у
пробегает все действительные значения.
22. Исследовать, определяет ли уравнение
х+у + Р(х,у) = 0
где P (х, у) — многочлен, не содержащий членов размерности ниже 2, единственную функцию, обращающуюся в 0 при х = 0 и непрерывную в окрестности х=0. (Экз. 1936 г.)
23. Рассмотреть, аналогично тому, как это было сделано в пп. 109—ПО, решения уравнений
у-— у — х=0, у*— у1— х2 = 0, у*— у1 + х1 = 0
в окрестности х = 0, у = 0.
24. Если ax°- + 2bxy + суг + 2dx-\-2еу = 0 и Д = 2bde — ае% — cd*, то одно значение у дается выражением
у = ах + ?x2 + тх3 + О (Xі),
где
A R-J-
е'р— 2^'7— 2е5
[Если д» — ах = -»], то
— 2е<! = ах1 - j- 2Jx (Yj + олг) + с (і) + ах)2 = Ахг2 4- 2BXt1 4- Cf.
Очевидно, что ?] — второго порядка малости, xrj — третьего, а і]2 — четвертого; далее,
— 2<»]= Ахг2 —^лг3,
с точностью до величин четвертого порядка малости.]
25. Если X = ay -\- by* -\- суі, то одно значение у дается выражением
у = ах 4- ?x2 4- YX3 4- Q (X*), I0 b 2b"- —ас
гдє о=—, ?=--г, y=-г-.
26. Если х = ау4"^Уга> ГДе п—целое число, большее 1, то одно значение у дается выражением
у = ах 4- ?x" 4- YX2™-14- О (х3""2),
I0 Ъ п№
где «=-, Р = -^й+Г> Т = ^т+Г-
206
Глава пятая
27. Показать, что наименьший положительный корень уравнения JCy = SiHAr является непрерывной функцией от у в интервале (0, 1) и монотонно убывает от я до 0, когда у возрастает от 0 до 1. [Эта функция
является обратной к применить п. ПО.]
28. Наименьший положительный корень уравнения jcy = tgjc является непрерывной функцией от у в интервале (I, со) и монотонно возрастает
от 0 до у Т; когда у возрастает от 1 до со.
29. Функция 9 (jc) называется непрерывной сверху в точке jc, если
Cf(A-') <?(*)+ S
для каждого положительного S и всех х' из некоторого интервала (зависящего от A- и S) с центром в х. Доказать, что функция, непрерывная сверху во всех точках интервала (а, Ь), имеет точную верхнюю грань, которую она достигает в (а, Ь).
(Экз. 1924 г.)
[Для доказательства существования точной верхней грани M заменим в доказательстве теоремы 1 п. 103 слово „ограниченная" словами „ограниченная сверху". Чтобы доказать, что <?(х) принимает значение М, нужно только сделать соответствующие изменения в рассуждениях п. 105. Мы найдем, что <?(х) принимает вблизи ? значения как угодно близкие к М, а это противоречит неравенству ср (а-) < 9 (P) +если cp(?)<Af и S достаточно мало.
Мы можем аналогично определить непрерывность снизу неравенством
ср (а-') > ср (а-) — S.
Функция, непрерывная снизу, имеет точную нижнюю грань, которой она достигает. Функция, одновременно непрерывная сверху и непрерывная снизу, просто непрерывна.]
глава vi ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
III. Производные или дифференциальные коэффициенты. Вернемся к рассмотрению свойств, которыми мы интуитивно наделяем понятие кривой. Первым и наиболее очевидным свойством является, как мы видели в предыдущей главе, то, в силу которого кривая представляется „связной", и которое легло в основу нашего определения непрерывной функции.
Такие кривые из числа обычно встречающихся в элементарной геометрии как прямые, окружности и конические сечения обладают значительно большей степенью ,правильности", чем это следует из одной лишь непрерывности. В частности, они имеют в каждой точке определенное направление; в каждой точке кривой имеется касательная к ней. Касательная к кривой в точке P определяется в элементарной геометрии как
„предельное положение хорды__
