Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
которое мы обозначаем через arsh s *)¦
2°. Функция t монотонно возрастает с возрастанием х и стремится пределам Is и —1, когда х—оо и х—— оо. Уравнение thx = * имеет единственное решение
1 . 1+'
X= тг In 1 - -
2 \—t '
которое мы обозначаем через arth
3°. Функция с—четная и принимает значения, большие 1, если хфй. Она монотонно возрастает, когда х положительно, и стремится к оо при х—-co. Уравнение chx—c имеет два решения
X= In (с + у с» — 1), x = ln(c— Y с1 — !),
которые равны по абсолютной величине, но обратяы по знаку. Первое из этих решений мы обозначаем через arch с; arch C = O для е = 1.
Таким образом, arsh х, arth х являются однозначными функциями, обратными sh X и thx, тогда как archx является одним из двух значений функции, обратной ch х. Проверить, что
Jdx , X С dx , X
.. = arsh — , I —r_____=arch —
Vx*+ а3 а J Yx1 —а1 о,
dx 1 X
і-. =--arth — ,
' ¦— а- а а
если во второй формуле а>0, х>а, а в третьей —а < х < а. Эти формулы дают нам возможность записать многие формулы из гл. VI в другом виде.
28. Доказать, что
2In(V-X^a + Ух— Ь) (а<Ь<х), — 2 In (Y a—x+Vb—x) (х<а<Ь),
f ~- &Х - = 2 arc tg X^ZZf- (а<х<&).
J Т/(х-аШ-х) Г 6-х
dx
У (X-
-а)(х
-Ъ)
dx
V (в
-х)(Ь
-X)
dx
*) „Арэасинус гиперболический" s—площадь, синус гиперболический которой равен s (area — площадь). См. цитированное в предыдущей сноске место в курсе В. И. Смирнова. (Прим. перга.)
27*
420
Ґлава девятая
29. Решить уравнение a ch х +bsh х = с, где с>0, и показать, что оио не имеет действительных корней, если Ь* + с1 — а1 < 0, а что в случае № + с* — а* > 0 оио имеет два, одни или ии одного действительного кория и зависимости от того, будут ли а + b и а — b оба положительны или одно из них положительно, а другое отрицательно, или оба отрицательны. Рассмотреть случай, когда ?2 + cJ— aJ = 0.
30. Решить систему уравнений
chxchjy = a, shxsh.y = ?.
31. xUx — 1 при со. [Действительно,
х\/х __ gin XfX
и Ilnx—0. См. пример XXVII. П.]
Показать также, что функция х1/* имеет минимум при х = е и нарисовать ее график для положительных значений х.
32. Xх —*¦ 1 при х — А-0.
33. Если "n+1 — /. при я —> со, где / > 0, то [Так как
In Un+1 — In ап — In /,
то
In а„~я In /. См. гл. IV, Разные примеры, 17.]
п _ fl
34. Уп\ъ—, когда и—'СО. [Положить ип = тгпп\ в примере 33.]
35. 4. Г я! я!
36. Исследовать приближенное решение уравнения
gX __ xi ООО 000,
[Из общих соображений на графике легко установить, что уравнение имеет два положительных корня, одни немного больший 1, а другой весьма большой1), и один отрицательный корень, немного больший—1. Грубое определение величины большого положительного корня можно провести так. Если е* = х1тш, то
х=10Мпх, In х ^ 13,82+ In In х, In In х2,63 + In (l + ,
так как 13,82 и 2,63 являются приближенными значениями In 10е и соответ" ствеиио In In 10е. Из этих равенств легко видеть, что отношения In X :13,82 и In In X :2,63 не на много отличаются от 1 и что
X 10» (13,82 +In In X)SElO" (13,82 + 2,63)= 16 450 000
1J Утверждение ,весьма большой" не следует здесь, конечно, понимать в смысле, разъясненном в гл. IV. Оно означает просто ,гораздо больший, чем кории уравнений, обычно встречающихся в элементарной математике". Аналогично следует понимать выражение ,немного больший".
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 421
дает неплохое приближенное значение корня, причем ошибку можно грубо
,п./, і ого* 10е In In X 10«. 2,63
оценить в 10е(In In х-2,63), или в ——, илн в ——» чг0 меньше
200 000. Эти приближения, конечно, весьма грубы, но достаточны для того, чтобы дать представление о порядке величины корня. Рассмотреть аналогично уравнения
ех = 1 000 000 Xі т ш, е*3 — Xі 000 000 °00.]
218. Логарифмические признаки сходимости рядов и интегралов. В гл. VIII (см. пп. 181, 185) мы показали, что
OO OO
І7- № <¦>«
сходятся, если s^>l, и расходятся, если sssl. Так, /Г1 расходится, но VjU.—1— а сходится при любом положительном а.
Однако в п. 210 мы видели, что с помощью логарифмической функции можно построить функции, которые стремятся к нулю быстрее чем я-1, но медленнее чем п~1~а. Примером такой функции может служить й-1 (In я)-1, и вопрос о сходимости ряда
у-J-
__. я In п
не может быть решен методом сравнения с любым рядом вида _S п~*.
То же самое относится и к таким рядам как
у 1 ¦y In In я
Zin у"1пя' Zi я (In я)*
Важно найти признаки, которые позволили бы нам определить, сходятся такие ряды или нет. Такие признаки могут быть легко выведены из интегрального признака п. 180. Действительно, так как
Z)x (In Jf)1^ =-J=^-, DAn In х-. 1
'х V" ~/ х (1п ху . "Х - — х 1п х ,
то мы имеем
Г dx (InE)1^-(In ay* С dx , , _ , ,
а а
если я^>1. Первый интеграл стремится к пределу
