Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
26 Г. Харав
402
Глава девятая
Рассмотрим, какие у нас были основания предполагать, что In х действительно является новой функцией. Мы уже видели (см. пример XLII- 4), что эта функция не может быть дробно-рациональной, так как производной дробно-рациональной функции всегда является дробно-рациональная функция, знаменатель которой содержит только кратные множители. Вопрос о том, не может ли эта функция быть алгебраической или тригонометрической, более сложен. Но легко убедиться на ряде попыток, что дифференцированием мы никогда ие можем освободиться от алгебраических иррацио-нальностей. Например, результатом дифференцирования yi-f-A: любое число раз всегда является произведение ]Л1 -f- х на дробно-рациональную функцию, и аналогичное положение имеет место во всех случаях. Если же мы дифференцируем функцию, содержащую sin X или cos х, то одна из этих функций всегда остается в результате.
Таким образом, хотя мы и не получаем строгого доказательства того, что in л: является новой функцией (мы на это и не претендуем 1J), но мы имеем разумные основания быть в этом уверенными. Поэтому будем рассматривать ее именно как таковую, и найдем, что ее свойства сильно отличаются от свойств любой функции, с которой мы встречались до сих пор.
205. Определение 1пх Мы определяем 1плг, логарифм натуральный от х*ї, равенством
x
С dt
IHX = J-.
1
Мы должны предположить, что л; положительно, так как (см. пример LXXVL 2) интеграл теряет смысл, если интервал интегрирования содержит точку лг = 0. В качестве нижнего предела мы могли бы выбрать число, отличное от 1; но 1 является наиболее удобным нижним пределом. При таком определении In 1 = 0.
Рассмотрим теперь, как ведет себя 1пдг, когда л: изменяется от 0 до оо. Из определения сразу следует, что In л; является непрерывной функцией от х, монотонно возрастающей при возрастании л: и имеющей производную
A-\nx==L. dx X '
из п. 181 следует, что In л: стремится к бесконечности при лг-vco.
Если л: положительно, но меньше 1, то 1плг отрицателен. Действительно,
1 x
1J Такое доказательство читатель найдет в книге автора, цитированной на стр. 248. >-
*) Автор называет эту функцию просто логарифмом от х и обозначает ее через iogx. Ниже в тексте вводятся ,обыкновенные" логарифмы,ив том числе логарифмы десятичные, которые автор обозначает через iogax и logi0x; эти последние мы обозначаем через iogx. (Прим. перев.)
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 403
x І/х
lax = J -г---J T =-1пт-
Таким образом, In х монотонно стремится к —со, когда л; убывает от 1 до 0.
Общий вид графика логарифмической функции показан на фиг. 48. Так как производная от 1пдг равнаL, то наклон кривой очень незначителен при больших X и очень крут при малых х.
Фиг. 48
Примеры LXXXHL 1. Доказать, исходя из определения, что (а> Т+~х <InO+*)<* (Jf >0), (Ь) д:<-In(І-дгХ-j-^ (0<*<1). [Для доказательства (а) заметим, что
1+х
н что подинтегральная функция заключена между 1 и y+Гх •l 2. Доказать неравенства I
36*
(1) X-
- Xs < In (1 + х) (х>0),
(2) ^_1<1пд:<дг—1 (х>1),
(3) 4(лг —1)— 2 In л:< 2л:In л: <л:8— 1 (лг> 1),
(4) 0<I-_ln^±i<^ (*>0),
Более того, если мы в интеграле произведем замену переменного подстановкой г = —, то найдем, что
404 Глава девятая
/ (X) = dx + С = С1 п X + С,
н подстановка в (1) показывает, что C = O. Таким образом, не существует решения, существенно отличного от In лг, если не считать тривиального решения /(л)= 0, получающегося при C = O.
2. Показать таким же образом, что не существует решения уравнения
f(x)+f(y) = f(X+y-
1 — ху
являющегося дифференцируемой функцией и существенно отличного от arc tg х.
3. Доказать, что если »(-(-1 >0, то ^ J-^O при п — оо.
(Экз. 1931, 1933, 1936 гг.)
3. Доказать, что
lim i??__ Hm In(I +У) =1
х~*\ X — 1 У-0 у
[Применить результат примера 1.]
206. Функциональное уравнение для In л:. Функция In л: удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
f(xy)=№ + f(y). (1)
Действительно, подстановка t=yu показывает, что
ху X X My
С dt Г du С da Г du
= 1плг — In — = In л: -f- Jnу.
Примеры LXXXIV. 1. Можно показать, что не существует решения уравнения (1), которое являлось бы дифференцируемой функцией, существенно отличной от In х. Действительно, если мы продифференцируем функциональное уравнение сначала по х, а потом по у, то получим два уравнения
У Г (ху) = Г (X), xf (ху) = f (у),
исключая нз которых f (ху), найдем, что
xf(x)=yf (у).
Но так как это соотношение должно иметь место для любой пары значе-
Q
ннй X н у, то должно быть лг/'(х)=С, нлн f(x)= — ,где С — постоянная. Следовательно,
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 405
[Если т—целое число, то Mn = ^j = O для п>т, и утверждение
очевидно. Мы можем поэтому предположить, что р <.т<.р где р — целое число, не меньшее —1.B этом случае
"v4-l _ 7« — V
отрицательно для ч ^p -f-1 и меньше единицы по абсолютной величине; ,следовательно, знаки м„ чередуются и | иv I монотонно убывает. Кроме того,
