Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
1
dt
)
о
а уфу- = 1—t-\-t* —если t по модулю меньше 1, то естественно ожидать1), что In(1+ я) при —1<^х<^1 будет равен ряду, который получается почленным интегрированием ряда
1 — * + *4— ...
в пределах от г = 0 до t = x, т. е. ряду
Это действительно так. В самом деле,
^=l_/+i«_...+(_ir-.^-.+fc^
и, следовательно, если —1,
In(I+^) = 1^ = ^-^ + ...+(-1)-^+(-1)^,
о
где
о
Если 0 =S X s? 1, то
то J ш 4-1 /я 4- 1
о
при /га—>oo. Если —1<^jc<^0 и х = — І, так что 0<^?<^1, то
/?» = (-1)"-'Jr^5 Л
1J Дальнейшие замечания по этому поводу читатель найдет в Приложении IL
15. Показать, что разложение по степеням р положительного корня уравнения X3+P= а3 начинается с членов
a {l — Y р In a + fp3 In а (2 -f In я) j.
(Экз. 1909 г.)
220. Логарифмический ряд. Другим очень важным разложением по степеням л: является степенной ряд для In(I-J- х). Так как
430
Глава девятая
и Є
TZZ1SMu= + -О,
U
так что и в этом случае Rm—*0. Следовательно, In (1-)-х) = X — у X2-f--^-X3 —
если —1<^ X=SiL Если X лежит вне этих пределов, то ряд расходится. Если х—1, то мы находим, что
In2 = I-1-+!-... .
Этот результат был уже доказан иным способом (см. пример XC 7).
221. Ряд для арктангенса. Подобным же образом легко доказать, что
x x
tgx=j^ = J(l-^ + ^-...)<« =
arc
б" ' o
X ' X "" j— X
если —¦ I=Sx^ 1. Доказательство этого результата даже несколько проще, так как arctgx является нечетной функцией от х, и вследствие этого достаточно рассматривать положительные значения х. Огличие от предыдущего случая заключается еще и в том, чго этот ряд сходится как при х=1, так и при X = — 1. Проведение доказательства мы оставляем читателю. Значение arctgx, представляемое
этим рядом, заключено, конечно, между ¦—-?-1Г и -rit(—1 sgx^l)и
совпадает с тем, которое, как мы видели в гл. VII (см. пример LXIII. 3), представляется интегралом. Если X= 1, то мы получаем формулу
!^ = 1-1-(-!-... .
Примеры XCII. 1. Если — 1 sg:x < 1, то
2. Если — 1 < X < 1, то
.и 1 , 1 + X , 1 , , 1 г ,
3. Доказать, что если х положительно, то
(Экз. 1911 г.)
Логарифмическая, по<азат ¦ и тригонометрические функции 431
1
1J Формула для Dx arc tg х теряет смысл при х = 0, так как arc tg — тогда не определен. Однако легко видеть (см. пример XLV. 15), что в этом случае под arc tg — следует понимать -^- гг.
4. Вывести ряды для In(I + х) и для arctgx с помощью теоремы Тейлора.
[При исследовании остаточного члена в форме Лагранжа мы встречаемся здесь с затруднением, когда л" отрицательно; следует применить форму Коши, а именно,
Кп~ (1+9ху
(см. соответствующее исследование для биномиального ряда, п. 152 (2) и п. 168).
В случае второго ряда мы имеем:
1 sin arc tg I
oS are 18^ = ^-^-^ = (-1^(«-I)J-*-j-
(1+X-")2
(см. пример XLV. 15), и оценка остаточного члена проходит без затруднений, так как он по модулю, очевидно, не превосходит — . ]
5. Доказать, что значение In 2 заключено между суммой первых 2л и суммой первых 2я + 1 членов ряда 1 —2 —____
(Экз. 1930 г.)
6. Вычислить
1—X + In X hm- 1 .
1 —]Л2х —X2
(Экз. 1934 г.)
7. Если у > 0, то [Использовать тождество
+ У+1
у = —=^—S--\-ynzl
у+1
Этот ряд может быть применен для вычисления In 2; для этой цели ряд
1 — "2" +¦ -д—... практически бесполезен в силу чрезвычайной медленности
его сходимости. Положить у = 2 и вычислить In 2 с точностью до трех знаков.]
8. Вычислить In 10 с точностью до трех знаков из формулы
1п10 = 31п2 + 1п (l +-L
9. Доказать, что
1 of 1 1 1 I
X 12х+1+3(2х+1)3 + 5(2;с+іу + ''"Г
432 Глава девятая
и 1 <у =SJ3, то у = — cthx. Найти аналогичное разложение для 2х, справедливое при —3s<Cy<—1.
(Экз. 1927 г.)
если X > 0, и что
(х-1)Ч*+2) f 2 W 2 \» W 2 \» і
(x + l)2(x —2) ~ Ілг8 —Зд; "Т" 3 [х^ — Зх) 5 \х* — 3х)
если х>2. Если известно, что In2 = 0,6931471 ... и In 3 = 1,0986123..., то полагая во второй формуле х=10, показать, что In 11 = 2,397895....
(Экз. 1912 г.)
10. Показать, что если In 2, In 5 и InIl известны, то формула
In 13 = 3 In 11 +1п5 — 91п2 дает значение In 13 с ошибкой примерно равной 0,00015.
(Экз. 1910 г.)
11. Показать, что
. у 1п2 = 7а + 56 + 3с, і-іпз—п а + 86 + 5с, у In 5= 16а + 12* + 7с,
1 , 1 ^ 1
где а = arth gj-, ?== arth ^ и с = arth ygy .
[Эти формулы позволяют очень быстро найти In 2, In 3 и In 5 с любой степенью точности.]
12. Показать, что
1 .1 X 1 1 .1
-j- г = arc tg j + arc tg у =4 arc tg у — arc tg^,
и вычислить г. с точностью до шести знаков.
13. Разложить 1п{1—In(I—х)} в степенной ряд до Xі включительно; вывести соответствующее разложение для In {1-f-ln(l-f-дг)} заменой х на
x
1 +х ' (Экз. 1923 г.)
14. Показать, что разложение функции
(1 +X)1+* по степеням X начинается с членов
1+х+х* + ±х*.
(Экз. 1910 г.)
