Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
1Z(1^r) Чії»(1+т)=Л (2)
Jdt Г dt f_dt
,1+1/» <} t <) tx-
Vn
или
и(1 — х-1/л)< InXOz(X1/"— 1). (3)
В предыдущих главах было сформулировано большое число утверждений, относящихся к функции ах, при том ограничении, что х рационально. Определение и теоремы, приведенные в настоящем пункте, позволяют нам теперь снять это ограничение.
215. Представление ех в виде предела. В п. 73 гл. IV мы
доказали, что функция (l~b~j" ПРИ я-voo стремится к некоторому пределу, который мы обозначили через е. Покажем теперь, что этот предел действительно является числом е, рассмотренным в предыдущих пунктах. Мы докажем, однако, более общий результат, а именно, что
Этот результат чрезвычайно важен, и мы наметим два доказательства.
(1) Так как
wXn<<l+xt"> = i+ht>
то
.. In(I +xh)
lim—^+-= х.
Л-.0 "
Если мы положим h = ~, то найдем, что
HmUn (l + y) =*
при (•—VCO или S-—*¦ — оо. Из непрерывности показательной функции следует, что
При Sj-VCXD ИЛИ ? —»- — СХЭ, Т. Є. ЧТО
?-.00 \ " W ?
Если мы предположим, что S-vco или что ?-»-— оо, пробегая только целочисленные значения, то получим результат, выраженный соотношением (1).
(2) Если п — любое положительное целое число и х>1, то мы имеем
X хх
dt
414 Глава девятая
Положим у = In х, X = еу. Тогда из (3) после простых преобразований следует, что
(¦^)"«'<('-Г"
Если 0<яс;< 1, то, по неравенствам (4) п. 74,
1-(1-Є)"<п{1-(1-Є)} = пЄ
и, следовательно,
(1-ЄГП<(1-«ЄГ1-
Vs
В частности, (5) имеет место, если $=-^- и я>у*. Отсюда мы находим, что
•+йЧ('-а--'}<"{('-з-,-'}-?.'
а это выражение стремится к нулю при и —оо. Равенство (1) следует теперь из неравенств (4).
Предоставляем читателю 1° произвести соответствующие изменения в доказательстве для случая 0<х<1 и 1° вывести результат для отрицательных х.
216. Представление 1пхв виде предела. Мы можем также доказать,
что
lim и (1 — х-1/и) = lim п (x1/n — l) = In х.
Действительно,
я (ХУ" - 1) _ п (1 - х- V") = п (х1/" -1)(1-х- 1Z"),
что стремится к нулю при я—-оо, так как и (х1//п—1) стремится к некоторому конечному пределу (см. п. 75), а х-1 /п стремится к 1 (см. пример XXVII. 10). Утверждение следует из неравенств (3) п. 215.
Примеры LXXXVII. 1. Доказать, полагая в неравенствах (4) п. 215у=1 и и = б, что 2,5 < е < 3,0.
2. Если и — / при п —- оо, то
(I+ ?„)»-*'. [Записывая л In (1 -f- ?„) в виде
^ я&,уп(1+ 6,) ^
и применяя резутьтат примера LXXXIII. 3, мы видим, что и In (1 + Sn) —/.]
3. Если и In- оо, то (1 +?•„)"— со, а если 1+?„ > 0 и я Sn- — со, то
4. Вывести из соотношения (1) п. 215 теорему о том, что еу стремится к со быстрее любой степени у.
217. Обыкновенные логарифмы. Читатель, вероятно, знаком с понятием логарифма и его применением к вычислениям. Известно,
Логарифмическая, показати, и тригонометрические функции 415
log X =
In 10
Легко перейти от одной системы логарифмов к другой, если известно значение InIO1).
В задачу настоящей книги не входит подробное рассмотрение практических приложений логарифмов. Если читатель незнаком с ними, то он должен обратиться к учебникам алгебры и тригонометрии.
Примеры LXXXVIII. 1. Показать, что
Dxeax cos Ъх = reax cos (bx + 9), Dx^ sin bx = reax sin (bx + 0),
где r= )/и* + Ьг, cos 9= ~, sin 6=-^-. Отсюда вывести выражения для
и-ых производных функций eaxcosbx и e^sinbx и, в частности, показать, что
/ d \п
еах sin bx = (a sec 6)" еах sin (bx -f- иб).
\dx ,
(Экз. 1932 г.)
2. Если уп есть и-ая производная от eaxsinbx, то
уп+1 - 2ау + (а- + u2)yn_x = 0.
(Экз. 1932 г.)
3. Если уп есть и-ая производная от х*ех, то
у„=і-и(л—l)ys — п(п — 2Jy1+ \(п— 1)(и — 2)у.
(Э*з. 1934 г.)
4. Начертить кривую у = е- OJC sin ojc, гдг а и b положительны. Показать, что у имеет бесконечно много максимумов, значения которых образуют геометрическую прогрессию и которые лежат на кривой
|/~а2 + Ъ*
(Экз. 1912, 1935 гг.)
l) In 10 = 2,302..., обратное значение равно 0,434.
что в элементарной алгебре \ogax — логарифм х при основании а, определяется уравнениями
х = аУ, y = \ogax.
Это определение применимо, конечно, только в том случае, когда у рационально.
Натуральные логарифмы являются, следовательно, логарифмами при основании е. Для вычислений применяются логарифмы при основании 10. Если
y = \nx=\ogex, Z = logA; = log10 л;,
то х = еУ, а также X= 10г = ег1п1°, так что
In X
416
Г лава девятая
5. Интегралы, содержащие показательную функцию. Доказать, что
J
„, , . acosbx + bsmbx
еах cos bx dx =-^ .--є"
а2 +о-
S*slnbxdx = -^bx-bcosbx
•б2
[Обозначая эти интегралы через InJn интегрируя по частям, находим, что
al еах cos bx -\~ bJ, aJ=eax sin bx — Ы,
и решаем эти уравнения относительно / и J.] 6. Доказать, что если a > 0, то
со oo
Je-a*cos6xdx=—, ° , і е~ах sin bx dx = —- а ,, . a" + о- J а2 -+- o-
о
