Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
(In я)»-*
422 Глава девятая
Ld п (In n)s
и несобственный интеграл
dx
X (In x)s
где п0 и а больше 1, сходятся, если s^>l, и расходятся, если s =? 1.
Отсюда следует, что 2?(я) сходится, если
*<Я> = °{мїп>-Ь іих я, и рас
: О (Я ІП Я).
где s^>l, для достаточно больших я, и расходится, если <"р(я)^>0 и
1
Ч? (Я)
Формулировку соответствующего результата для интегралов мы оставляем читателю.
Примеры LXXXIX. 1. Ряды
2(1пя)Р у (Іпя)Р(ІпІпя)? у (In In п)Р
где s > 0, сходятся для всех значений р и ?¦, а ряды
2 л^Оплу ' 2 «1^(InW)P(InIn«}?' 2 я (In я)1-* (In In Я)Р
расходятся. Действительно, (In п)Р = О (я5) при сколь угодно большом р сколь угодно малом положительном 8 и (!п In п)Р = О {In я)5}. Множители, содержащие In я и In In я в первых двух суммах каждой группы, и множитель, содержащий In In я в третьих суммах каждой группы, не влияют на сходимость ряда.
2. Сходимость или расходимость таких рядов, как
_1_ ^Tl In In In я
п In я In In п. Zi п In пУ In In я
не может быть определена с помощью теоремы настоящего пункта, так как в каждом случае функции, стоящие под знаком суммы, стремятся к нулю быстрее чем я-1 (In я)-1, но медленнее чем п~1(\пп)~1-°- при любом положительном а. Исходя из соотношений
при ?•-»-00, если s^>l, и к оо, если s<^l. Второй интеграл стремится к оо. Следовательно, бесконечный ряд
со
V 1
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 423
и несобственный интеграл
OO
dx
X In X In2 X . . . lnA_j X (1? х)5 а
сходятся, если s > 1, и расходятся, если s ^ 1, где щ и а обозначают числа настолько большие, что lnft л « 1пй х положительны при л л0 «ли х^а. Такие значения л0 и а возрастают очень быстро при возрастании k: так, InX> О для х> 1, In2X >О для х > е, In3х> О для х > ее и т. д., и
е
легко видеть, что ее>10, ее<! > е10 > 20 ООО, e«e > е20000 > 108000.
Читателю следует обратить внимание на ту исключительную быстроту, с которой высшие показательные функции
возрастают с возрастанием х. Это же замечание применимо, конечно, и к таким функциям, как
где а — любое число, большее 1. Подсчитано, что 99 имеет примерно 369693100 цифр, тогда как Ю1»10 имеет, конечно, 10 000 000 001 цифру. Наоборот, скорость возрастания высших логарифмических функций чрезвычайно мала. Так, для того чтобы
In In In In X > 1,
мы должны взять X равным числу, имеющему свыше 8 ООО цифр
Число протонов во вселенной оценивается в 1080, а число возможных
шахматных партий — в 101°50. 3. Доказать, что интеграл
где 0<а<1, сходится, если s< — 1, и расходится, если — 1. [Рассмотреть поведение
.f X {1п X }
S
dx
при г—» + 0. Этот результат может быть уточнен введением высших логарифмических множителей.]
Ч См. сноску на стр. 349.
где In3 x = ln In х, In8X = In In In х,..., можно доказать следующую теорему бесконечный ряд
со
у_\_
я- й In л In3 я ... \nk_tn(\nknf
424 Глава девятая
і
Jx-i(InJL}'**
о
необходимо и достаточно, чтобы а>0 и s>-6. Исследовать на сходимость
CU
хаах
(1 + xf {1+(In Xf}
Примеры XC 1. Постоянная Эйлера. Показать, что
(Экз. 1934 г.)
стремится к некоторому пределу 7 при я —оо, причем 0<Y=?SL
[Это сразу следует из п. 180. Значение предела f равно 0,577...; Y называется постоянной Эйлера.]
2. Если а и b положительны, то
4-+^+^+21+---+^+(«1-і)&-т-'п(а+яб)
стремится к пределу при я-»оо.
3. Если О < s < 1, то
<р(«)=1+2-* + а-* + ...+(я-1)-«-. "l~s
1—S
стремится к пределу при я-»оо. 4. Показать, что ряд
1 , 1
2(1+-L) 3(i+L + L
2
расходится. [Сравнить общий член ряда с (я In я)-1.]
5. Случай а=1 в п. 183. Когда а=1 в уравнении (1) п. 183, мы полагаем u„=s (л In я)-1, причем ?я„ расходится. Так как
1п(л+1)_ 1
In п In
то
- {in я + L + о (-L-H= 1 4--г—v о (JJ).
я L 1 л 1 \rtsJ) ~ п\пп~ Kn3J'
u»+i __ п1ап _! 1 1 I0' 1 "я (я + 1)'п(я+1) я я In я
4. Доказать, что
о
расходится для всех значений s.
[Результат последнего примера показывает, что s< — 1 является необходимым условием сходимости в нижнем пределе; но {in ——j- стремится
к оо как (1—x)s при х—* 1 — 0, если s отрицательно, и, следовательно, интеграл расходится в верхнем пределе, если s<—L]
5. Для сходимости интеграла
Логарифмическая, показати, и тригонометрические функции 425
Sn-i
(см. пример LXXXIII. 1); теперь очевидно, что
In -S-L + in А. + ... + ІП -5«-=lnii-Si s2 s„_i S1
стремится к бесконечности при п —ОО.] 7. Найти сумму ряда
[Мы имеем:
'-2+-3
1+1+...+і- = 1п(2л + 1) + ї + о(1),
2 (г + Т+'-'+й) =1п(л + 1) + т + 0(1)'
по результату примера 1, где y — постоянная Эйлера. Вычитая и устремляя Я к оо, мы видим, что сумма данного ряда равна In 2. См. также п. 220.] 8. Доказать, что если Сф-\, то ряд
oo
2<-іг(і+! + .-. + іг+т-,и—с)
о
ограничено колеблется, и что он сходится при C = Y-
