Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Hm BrT1COV(IZiPWI, 1/Jp(^)I}
= л [т| {A-fi} + ті {X+ \х}] l/15 (А) /22 (X)+ I /12 (Я) I2] j Г (a)* da.
7.10.10. Покажите, что в условиях теоремы 7.4.4 <?Jp (X) = arg /Jp (Я) и <?<р (ц) —arg /Jp (ji) имеют асимптотически нормальное двумерное распределение с ковариационной структурой
Hm B7T cov {ФіР(А), ф?>(|1)}
= я~[т){а.-ц}-т){а. + ц}1 [/u (X) /И (X)-IA2Wl2IlA2Wl-2 С W(a)«<fa.
7.10.11. Покажите, что при условии 2іі\сі2Іи)\ < 00 математическое ожи-
дание величины /<г>
2я
(T) (к) дается формулой
(2ЛТ)-1 ^ {| A<r>(?t—ajp-r-1 Д<г>(Ь) A<r>(-a) Д<г> (—Я + a) о
Д(Г> (-Я,).Д(Г> (сс) ДСП (Я-сс) + Г-21 Д(Г) (Х) ,2 j дет-) (а) |2} /i2 (а) rfa
7.10.12. Пусть [X1(O, X2(O], Z = O, ±1, является двумерным рядом, удовлетворяющим условию 2.6.1. Примем обозначения
V-I
Т/-1 V
"X1 (V+ IV)-
я= О
X t (V+IV)_
для 1=1, ..., L. Покажите, что C^(Z), 1=1, L, являются асимптотически независимыми величинами с распределением
, 2nV~l
In
(0) /12
(0)"
С2.
(0) /22
т.
Убедитесь, что при T = LV
5Г2ЖУ) (l)-cp][cV>(l)-c^]l(L--\) і
является неплохой оценкой для Z12 (O)0
7.10.13. Покажите, что результаты теорем 7.2.3, 7.2.4, 7.2.5 и 7.3.3 дают более точную асимптотику, нежели в случае, когда [X1(Z), X2(Z)], Z = O, ±1, представляют собой последовательность независимых одинаково распределенных двумерных нормальных величин.
7.10.14. Предположим, что ряд [X1(Z), X2(Z)], Z = O, ±1, ... удовлетворяет условию 2.6.2(1) и имеет среднее 0. Тогда
cov {/<р (\), ІЦ> (її)} = 7"» I А(Г) (Х-ц) Iа /ц (X) /и (X)
+ 7--•I A(D (X + ^) |»(?) /21(-Х)
4-2n7--Vi2i2(X, -X, —ii) + T-*RW(l, (г),
где существуют такие KnL, что
I *(7> (X, ц) |</С{| Л<г> (X+,а) | + | Л(Г) (X-JX) 1J + L.
7.10.15. Предположим, что выполнены условия теоремы 7.3.3. Пусть
9 = fab^)lVfaa (Я) /w (X), а ^6. Тогда *=)?p (Х)/К /<?> (X) (X) имеет асимптотическое распределение с функцией плотности
ехр (Re (*р)/(1-| P I2} К2т (I х 1/(1-1 P I2))
ютности
ЄХР {X9I(X -р2)} К(2т -1)/2 (I X |/(1 -р2))
лг (2/72+ 1) 22^+1 /1—|р|2
при X^O (mod л) и функцией плотности
I х |(2/Л-1)/2
лГ(т) 2*2"*-1)/2 уТ^р2 при X = O (mod л). Указание. Воспользуйтесь упр. 4.8.33.
7.10.16. Пусть схх(и)> и = 0, ±1, является автоковариационной матрицей стационарного r-мерного ряда X(Z), Z = O, ±1, .... Покажите, что матрица сХх (0>— ^xx с-ххФ)'1 схх(и) неотрицательно определена для м = 0, ±1, ... .
7.10.17. Пусть fjrx(X), — оо < X < оо, обозначает матрицу спектральной
плотности стационарного г-мерного ряда X (Z), Z = O, ±1.....Покажите, что
*ХХ M — 0 Аля X = O (mod л).
7.10.18. Допустим, что автоковариационная функция в упр. 7.10.16 удовлетворяет условию
Sl"!1 \*ХхМ\<«> и
и Det f (X) Ф0, — оо<Х<оо. Покажите, что существует такой /-суммируемый rXr-фильтр {л (и)}, что для ряда
Y(Z)=^a(Z-M)X(M)
выполняется соотношение \уу (Я) = (2л)-1 I, —со < >. <0О, И Суу (0) = 1, Суу (и) = 0 для U ф 0.
7.10.19. Пусть X(z), / = 0, ±1, является векторным рядом из примера 2.9.7. Покажите, что
\хх (X) = (2л) -1A (X) -1 В (X) сее (0) B^t J(XTit.
7.10.20. Покажите, что в условиях теоремы 4.5.2 существует такое конечное Ly что с вероятностью 1
Tim" sup I (X)-A (X) \Тх (X)XQiY I < L.
7.10.21. Покажите, что для случая несглаженных4 данных утверждение теоремы 7.2.1 принимает вид
2Jt
7.10.22. Предположим, что г-мерный ряд X(Z), z = o, ±1, удовлетворяет условию 2.6.2(1). Пусть (X) задано выражением (7.3.1). Пусть также ц, = 2л/77\ X = 2ns/T для целых г и s. Покажите, что для X, ц^о (mod 2л)
(a) cov Z0^Oi)}
= Ц (*> V + П {* + faib, W /*,«, (~Х) + 0 (Г"1),
(b) COv(ReZ0^(X)1 Re/^(|i)}=-g-h{^-|i} + Ti{X + >i}] X Re {/„^ (Я) /Мг (- X) +/flA (X) fbtBt (- X)} + О
(c) cov (Re Z^(X), ImI^(P)}
= -"jh {X-fi}-n(^+^}]
X Im (/Я1й1 (X) /Wl (-X)-/ai6l (К) fbtat (-X)} +О (Г-*)
(d) COV(ImZ^1(X), Im/$,01)}
=4"їт| 1*>—¦n
XRe(/eiaa (X) /6іЬа (-X)-Zfll6l (X) X)} +О (Г - 1J.
7.10.23. Допустим, что выполнены условия теоремы 7.2.5. Положим ,
(К O=^f]V» (X, I)-1=0
Тогда величины
(X)=(L-i)-i [(2яя^> (O)J-M^ (^. 0-4V)(*> •)}
1=0
распределены асимптотически как (L-1)^1 Wf(L-1, fyxfA,)), если ^ (mod л), и как (L-I)-1W1-(L-\JXX (X)), если Яз=0(то<іл).
7.10.24. Рассмотрим оценку
єи4г,іВ(?іііш).
S= -m
в которой 2jxs (T)IT —>X^O (mod л) и 2s ^s= 1- Покажите, что в условиях теоремы 7.3.3 fxx (X) асимптотически распг>еделена как
т S= - т
где W5, s = 0, ± 1, ± т, являются независимыми переменными с распределением (1, fxx (X))- Укажите среднее/И ковариационную матрицу предельного распределения.
7.10.25. Предположим, что оценка
S= -т
используется в случае четного Г и X = л. Покажите, что в условиях теоремы 7.3.3 эта оценка имеет асимптотическое распределение (2m+ I)-1 W r (2m+ 1, fxxfa))-
7.10.26. Покажите, что оценка (7.4.5) является неотрицательно определенной, если для —оо <а< оо неотрицательно определена матрица [Wab(a)]. Указание. Воспользуйтесь результатом Шура о неотрицательности [АаьВаь\ в случае, когда неотрицательны [АаЪ] и [Bab]\ см. Bellman (1960, стр. 94).
