Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
е(*) = Y(O-ц-2>(*-и)Х(м), * = 0, ±1, (8.3.7)
в котором выражения ц и а(м) взяты из теоремы 8.3.1, называется рядом ошибок. Как видно, этот ряд имеет среднее 0 и матрицу спектральной плотности .
fe8 (X) = W(X)- fя (X) fx* W-1 (8-3.8)
Матрицу f88(X) называют спектром ошибок. Можно переписать (8.3.8) в виде
fee (X) = f yy (X)1' 2 [1 - *гк W - 1Z 2f rx W fxx W -1 fхк (X)
xfKKw-1/2]WW1/2; (8.3.9)
тем самым мы придем к измерению линейной зависимости Y (t) от X(O посредством sxs-матрицы
'yrW-^WIaW-^w^KrW-1'1. (8.3.10)
В случае S=I выражение (8.3.10) называется множественной когерентностью Y (і) с X(O на частоте X. Обозначим эту величину через \Ryx(^)\2 и запишем
1Кп(^ш=ЬаВ1в^рпМ. (8.3.П)
(В случае г = S= 1 определяем когерентность Ryx(^) = fyx(^)/ /[/xx(X)/Vr(X)]1/2.) Множественная когерентность, удовлетворяющая неравенству
0<|ЯкхМ|2<1> (8.3.12)
(см. упр. 8.16.35) выступает в качестве меры того, сколь точно можно определить действительную величину Y (0, применяя к r-мерному векторному ряду X(O линейные операции, инвариантные во времени. Записав
/eeW = [l-[/?«Wn/irW. (8.3.13)
мы видим, что \ Ryx (^) |2 = 0 соответствует некогерентному случаю, когда X(O не уменьшает дисперсию ошибки. Значение |/?кх(Я)|2=1 соответствует полной когерентности, в этом случае ряд ошибок сводится к 0. Коэффициент множественной когерентности ввел Goodman (1963); см. также Koopmans (1964а, Ь).
В общем случае, когда s любое, кросс-спектр между а-й и 6-й компонентами ряда ошибок га (t) и гь (і) мы назовем част-ным кросс-спектром Ya (t) с Yb (t) после удаления линейного воздействия X(O и представим его выражением *
fyayb.x (X) = fyayb (X) - hax (X) fxx W-1 ixyb (X) = /еА (X), (8.3.14)
— oo<X<oo. Когерентность этих компонент назовем частной когерентностью Ya(t)- с Yb(t) после удаления линейного воздей-
8.3. Определение оптимального линейного фильтра
319.
ствия X(O; ее выражение имеет вид
*уЛ.х(*) =--_. (8.3.15)
а а о о
Последние величины применяют для определения того, в какой мере существование явного линейного инвариантного во времени соотношения между рядами Ya(t) и Yb(t) обязано наличию линейных связей каждого из этих рядов с X(O, см. Gersch (1972). Можно также ввести частный комплексный коэффициент регрессии Y0 (0 на Yb (t) после удаления линейного воздействия X(O как
fo-*»>, (8.3.16)
В соответствии с теми предположениями, которые можно сделать, изучая ситуацию для действительных величин, оказывается, что выражение (8.3.16) является элементом, отвечающим Yb(t) в матричном комплексном коэффициенте регрессии Ya(t) на (г+1)-мерный векторный ряд
\УьЩ
u(O j-
Тем самым возникает интерпретация отдельных элементов матричного комплексного коэффициента регрессии.
Указанные здесь величины, используемые при анализе частного кросс-спектра временных рядов,, ввели Tick (1963) и Won-nacott, см. Granger (1964), стр. xiii. Более подробно они изучены в работах: Koopmans (1964b), Goodman (1965), Akaike (1965), Parzen (1967с) и Jenkins, Watt (1968).
В качестве примера рассмотрим значения введенных величин для модели
Y (0 = Ц + 2 а (* — и) X (и) + е (0, (8.3.17)
и
где X (0 есть r-мерный стационарный ряд с матрицей спектральной плотности txx(k)\ ?(0 есть s-мерный стационарный ряд со средним 0, имеющий матрицу спектральной плотности fee(^), не зависящий от X (t) при всех запаздываниях, т. е. сдвигах аргумента в прошлое; jui есть s-мерный вектор, а {а (и)} — абсолютно суммируемый sxr-матричный фильтр. Легко проверить, что комплексный коэффициент регрессии Y (0 на X(O задается формулой
A (X) = 2 а (и) ехр {— iXu}. (8.3.18)
Кроме того,
fYeYb-x(b) = hjbW, (8.3.19)
и поэтому
«7ь-НЧ = ЛеЛ(Ч. (8.3.20)
Если ряд (8.1.1) гауссовский, то jm и а(м), введенные в теореме 8.3.1, можно охарактеризовать и иначе.
Теорема 8.3.2. Если выполнены условия теоремы 8.3.1 и ряд (8.1.1) гауссовский, то для \х и а. (и), определенных в (8.3.3) и (8.3.4),
E{Y(0|X(i;), 1> = 0, ±1,...} = |i+ S *(t-u)X(u). (8.3.21)
U= -00
Далее,
cov{Y(* + u), Y(OIX(U), i> = 0, ±1, ...} =
= S [«гк M - *гх W 'и W -1? (?)] ехр {Он} <й. (8.3.22)
о
Библиографические ссылки на изложенный материал для случая г = s=l включают работы Wiener (1949), Солодовни-кова (1950), Koopmans (1964а) и Blackman (1965). Между подходом, рассмотренным в этом параграфе, и подходом гл. 6 имеется целый ряд связей. Главное же отличие в сделанных предположениях состоит в том, что теперь ряд X (0 предполагается не детерминированным, а стохастическим. В гл. 6 рассматривалась модель связи между рядами
Y (0 = її + 2* (* — и) X (и) +8 (0, (8.3.23)
и
в которой вектор jut постоянен, а (а) —суммируемый фильтр, а 8 (0 — ряд ошибок с нулевым средним. Упражнение 8.16.33 должно показать, что такая модель осуществляется при условиях теоремы 8.3.1.
Мы закончим этот параграф примером применения теоремы 8.3.1. Допустим, что r\(t) и Y (t) — независимые стационарные s-компонентные векторные ряды с нулевыми средними, и рассмотрим ряд
