Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 97

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 163 >> Следующая


X (o = Y (0+4(0- (8.3.24)

Можно интерпретировать ряд Y (t) как полезный сигнал на фоне шума, описываемого рядом r\(t). Предположим, что'нам желательно аппроксимировать Y (t) рядом, полученным фильтрацией X(o- Матрица спектральной плотности X(o и Y(o имеет вид

. \iYY(X) + im W іуу(Щ

1 tU' ?«• (8-3-25)

Согласно выражению (8.3.5), передаточная функция наилучшего линейного фильтра, предназначенного для определения Y (t) по Х(/), задается формулой

А (X) = fyy (X) (iYY(X) + fчч (X))-і. (8.3.26)

Эта функция A(X) называется избирательным фильтром -для сигнала Y(O, присутствующего в шуме i\(t). Как видно, его основное свойство заключается в том, что частотные компоненты X (0' из интервала частот, где значение im (X) очень велико по сравнению с fyy (X)4 этим фильтром не пропускаются, и в то же время пропускаются почти без изменений компоненты из интервалов, где значение f^ (X) мало по сравнению с fyy (X). При s = 1 величина fYY (X)/fщ (X) называется отношением сигнала к шуму на частоте X.

8.4. Эвристическая интерпретация параметров и построение оценок

Пусть г +s-компонентный векторный ряд

[Y(OJ'

(8.4.1)

t = 0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1. Предположим, что нам известны его значения при / = 0, Т— 1. Вычислим конечное преобразование Фурье этих значений:

(Я)

T- 1

= ^ ехр {— iXt)

/ = 0

X(O

.Y(O

(8.4.2)

— оо <Х<оо. Согласно теореме 4.2.2, при больших T распределение этой случайной величины аппроксимируется распределением

1xx

.1yx

(X) iyy(X)_

iV r+s

(••

2пТ

(8.4.3)

если X^ О (mod я).

Сославшись на обсуждение теоремы 8.2.4, можно теперь заключить, что A (X) — комплексный коэффициент регрессии Y (О на X(O на частоте Х-— можно интерпретировать в некотором приближении как комплексный коэффициент регрессии d(y) (X) на dp (X). ГРоэтому он оказывается полезным при предсказании значения dy} (X) по значению dP (X) с помощью линейного анализа. Спектр ряда ошибок fee(X) приближенно пропорционален кова-

риационной матрице ошибки, связанной с этим прогнозом. Точно так же и частный»комплексный коэффициент регрессии Ya(t) на Yb(t) после удаления линейного воздействия, связанного с X(t), будет близок к коэффициенту регрессии d{Ya (Л») на d{Pb (X) после

удаления линейного воздействия dp (X). Теперь предположим, что s=l. Величину IRух M |2 — множественную когерентность Y (t) с X(t) на частоте А, —можно в соответствии с теоремой 8.2.4 интерпретировать как комплексный аналог квадрата коэффициента множественной^ корреляции dp (X) с dp (X). Наконец, частная когерентность Yа (t) с Yb (t) после удаления линейного воздействия X(t) может быть истолкована как комплексный аналог

частной корреляции dpa (X) с dpb (X) после удаления линейного

воздействия dp(X). В случае когда ряд (8.4.1) гауссовский, эти частные параметры будут приближенно условными параметрами при заданном значении dp (X).

Аналогичную интерпретацию можно предложить и при X = O (mod я). В этом случае применяются статистики и распределения, имеющие действительные значения.

Обратимся далее к построению оценок различных параметров. Предположим, что s (T) — целое число и величина 2jcs (T)IT близка к Л, причем ХфО (modя). Согласно теореме 4.4.1, значения

_dP (

2я [s (T)+ s] T

2я [s (DM-S] T

(8.4.4)

s = 0, ±1, ± т, являются приближенно независимыми реализациями величины (8.4.3). Используя выражение (8.2.50), предваряющее теорему 8.2.5, можно ввести статистики

ixx (А)

Jy)C (Я) f$(A)_

(2m+І)-1 (2яТ)-

X

V № (2я I

dxn(2a[s(T) + s]/T)

d(/> (2n[s(T)+s]/T)

:[s(T) + s]/T) ;[s(T) + s]/T)_

A<r>(X) = f$(X)f$W-1

и

giV W = (2m +1 - r)-1 (2m + 1)

x [№ (X) - i(Yx (A,) fx7x (A) -1 f{xy (X)];.

(8.4.5) (8.4.6)

(8.4.7)

две последние выступают в роли оценок для A (X) и fee (X) соответственно. Теорема 8.2.5 указывает приближения к распреде-

лениям этих статистик. В § 8.6 мы рассмотрим более гибкий вариант (8.4.5), включив в сумму весовые множители.

Эвристические подходы к линейному анализу многомерных рядов содержатся в работах: Tick (1963), Akaike (1965), Groves, Hannan (1968). Параметры и оценки рассматривал Fishman (1969).

Мы можем также предложить интерпретацию параметров, введенных в § 8.3, основанную на частотных компонентах Х(?, X), Y (/, X), t = 0y ±1, ..., и их преобразованиях Гильберта Xя(t, X), Ун (t, X)9 f = OlN±lf .... Рассуждения § 7.1 показывают, что ковариационная матрица величины

X (*, X) ' Y (U X) Xм (t, X) Ун(і, X),

приблизительно пропорциональна

(8.4.8)

Refxx(X) Re f XY (X) ReiYX(X) RefYY(X) -lmixx(X). -lmfXY(X) .— Im f YX (X) — Im f YY (X)

lmixx (X) Im fYX (X) Refxx(X) Re fYX (X)

Im f XY (X) lmfYY (X) Re f XY (X) Re fYY (X) J

Далее,

-I

hx (X) hr (X)

1yx

(X) iyy(X)\

(8.4.9) (8.4.10)

поэтому

[ReAW Im А(Я)] = [Нетклг(Я) ІтіУХ(Щ

L- Im \хх(X) Rt\xx{%)\

Теперь ясно, что ReA(A,) можно интерпретировать как коэффициент, соответствующий X(t, X), в регрессии Y(^, X) на
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed