Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
X (o = Y (0+4(0- (8.3.24)
Можно интерпретировать ряд Y (t) как полезный сигнал на фоне шума, описываемого рядом r\(t). Предположим, что'нам желательно аппроксимировать Y (t) рядом, полученным фильтрацией X(o- Матрица спектральной плотности X(o и Y(o имеет вид
. \iYY(X) + im W іуу(Щ
1 tU' ?«• (8-3-25)
Согласно выражению (8.3.5), передаточная функция наилучшего линейного фильтра, предназначенного для определения Y (t) по Х(/), задается формулой
А (X) = fyy (X) (iYY(X) + fчч (X))-і. (8.3.26)
Эта функция A(X) называется избирательным фильтром -для сигнала Y(O, присутствующего в шуме i\(t). Как видно, его основное свойство заключается в том, что частотные компоненты X (0' из интервала частот, где значение im (X) очень велико по сравнению с fyy (X)4 этим фильтром не пропускаются, и в то же время пропускаются почти без изменений компоненты из интервалов, где значение f^ (X) мало по сравнению с fyy (X). При s = 1 величина fYY (X)/fщ (X) называется отношением сигнала к шуму на частоте X.
8.4. Эвристическая интерпретация параметров и построение оценок
Пусть г +s-компонентный векторный ряд
[Y(OJ'
(8.4.1)
t = 0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1. Предположим, что нам известны его значения при / = 0, Т— 1. Вычислим конечное преобразование Фурье этих значений:
(Я)
T- 1
= ^ ехр {— iXt)
/ = 0
X(O
.Y(O
(8.4.2)
— оо <Х<оо. Согласно теореме 4.2.2, при больших T распределение этой случайной величины аппроксимируется распределением
1xx
.1yx
(X) iyy(X)_
iV r+s
(••
2пТ
(8.4.3)
если X^ О (mod я).
Сославшись на обсуждение теоремы 8.2.4, можно теперь заключить, что A (X) — комплексный коэффициент регрессии Y (О на X(O на частоте Х-— можно интерпретировать в некотором приближении как комплексный коэффициент регрессии d(y) (X) на dp (X). ГРоэтому он оказывается полезным при предсказании значения dy} (X) по значению dP (X) с помощью линейного анализа. Спектр ряда ошибок fee(X) приближенно пропорционален кова-
риационной матрице ошибки, связанной с этим прогнозом. Точно так же и частный»комплексный коэффициент регрессии Ya(t) на Yb(t) после удаления линейного воздействия, связанного с X(t), будет близок к коэффициенту регрессии d{Ya (Л») на d{Pb (X) после
удаления линейного воздействия dp (X). Теперь предположим, что s=l. Величину IRух M |2 — множественную когерентность Y (t) с X(t) на частоте А, —можно в соответствии с теоремой 8.2.4 интерпретировать как комплексный аналог квадрата коэффициента множественной^ корреляции dp (X) с dp (X). Наконец, частная когерентность Yа (t) с Yb (t) после удаления линейного воздействия X(t) может быть истолкована как комплексный аналог
частной корреляции dpa (X) с dpb (X) после удаления линейного
воздействия dp(X). В случае когда ряд (8.4.1) гауссовский, эти частные параметры будут приближенно условными параметрами при заданном значении dp (X).
Аналогичную интерпретацию можно предложить и при X = O (mod я). В этом случае применяются статистики и распределения, имеющие действительные значения.
Обратимся далее к построению оценок различных параметров. Предположим, что s (T) — целое число и величина 2jcs (T)IT близка к Л, причем ХфО (modя). Согласно теореме 4.4.1, значения
_dP (
2я [s (T)+ s] T
2я [s (DM-S] T
(8.4.4)
s = 0, ±1, ± т, являются приближенно независимыми реализациями величины (8.4.3). Используя выражение (8.2.50), предваряющее теорему 8.2.5, можно ввести статистики
ixx (А)
Jy)C (Я) f$(A)_
(2m+І)-1 (2яТ)-
X
V № (2я I
dxn(2a[s(T) + s]/T)
d(/> (2n[s(T)+s]/T)
:[s(T) + s]/T) ;[s(T) + s]/T)_
A<r>(X) = f$(X)f$W-1
и
giV W = (2m +1 - r)-1 (2m + 1)
x [№ (X) - i(Yx (A,) fx7x (A) -1 f{xy (X)];.
(8.4.5) (8.4.6)
(8.4.7)
две последние выступают в роли оценок для A (X) и fee (X) соответственно. Теорема 8.2.5 указывает приближения к распреде-
лениям этих статистик. В § 8.6 мы рассмотрим более гибкий вариант (8.4.5), включив в сумму весовые множители.
Эвристические подходы к линейному анализу многомерных рядов содержатся в работах: Tick (1963), Akaike (1965), Groves, Hannan (1968). Параметры и оценки рассматривал Fishman (1969).
Мы можем также предложить интерпретацию параметров, введенных в § 8.3, основанную на частотных компонентах Х(?, X), Y (/, X), t = 0y ±1, ..., и их преобразованиях Гильберта Xя(t, X), Ун (t, X)9 f = OlN±lf .... Рассуждения § 7.1 показывают, что ковариационная матрица величины
X (*, X) ' Y (U X) Xм (t, X) Ун(і, X),
приблизительно пропорциональна
(8.4.8)
Refxx(X) Re f XY (X) ReiYX(X) RefYY(X) -lmixx(X). -lmfXY(X) .— Im f YX (X) — Im f YY (X)
lmixx (X) Im fYX (X) Refxx(X) Re fYX (X)
Im f XY (X) lmfYY (X) Re f XY (X) Re fYY (X) J
Далее,
-I
hx (X) hr (X)
1yx
(X) iyy(X)\
(8.4.9) (8.4.10)
поэтому
[ReAW Im А(Я)] = [Нетклг(Я) ІтіУХ(Щ
L- Im \хх(X) Rt\xx{%)\
Теперь ясно, что ReA(A,) можно интерпретировать как коэффициент, соответствующий X(t, X), в регрессии Y(^, X) на