Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
dfy (X) = /C-1Jj d<p/k (X) = 2і (tf-1 S (о)ехр{- Ш} (7.9.8) и оценке /ее (X) посредством
/?>(*) = /-i(tf-1)"1 .S S (2nT)-4d</> (X)-d</> (X)K (7.9.9)
/= 1 k— 1 І /А у • I
Мы оценим /С/ээ (X) + /ее (X) посредством
/ВД (*¦)+/?> (X) = У-»/С S1 (2яГ)-і I (A,)_d?>(Ji) р (7.9.10)
и, наконец, JKf'a* (X) + Kfрр (X) + /ее (X) посредством
ОД2 M + /ОД (X) + Ig' (X) = (2иГ) -11 d?> (X) |« (7.9.11)
в случае Хф О (mod 2я).
Теорема 7.9.1. Пусть JK рядов X/k (t), t = 0, ± 1, ...; ft = 1, ..., /С; / = 1, ..., заданы выражением (7.9.1), где Ii—консгНанта, a(t), P/(f)» ' = 0, ±1, ...; fe=l, К\
J=I9 являются независимыми рядами со средним 0,
удовлетворяющими условию 2.6.1 & имеющими спектры мощности /аа(Х), /рр(Х), /ее (X) соответственно. Пусть 1$ (X), KI$ (X) + + IiV (Ь), -ШЙ? (X) + KIg' (X) + Ig' (X) заданы формулами (7.9.9) — (7.9.11). Тогда при X0 (modя) эти статистики являются асимптотически независимыми величинами с предельными распределениями /8е (X) <k-d/[2j — l)l [К/рр (х) + /ее M] Xjcij/(27), [/К/аа(Х)+/(/зэ(Х) + /ее(Х)]х22/2. Кроме того, для таких целых S1 (T), что X1 (T) = 2nst (T)IT-^X1 при T оо и 2Х, (Г), X, (T) ± Xm (T) ф 0 (mod 2л) при 1 < / < т < L Зля дос-таточно больших Т, статистики 1$ (X1(T)), К№ (X1(T)) + Igy (X1(T)), JKI^(T)) + KI&4h(T)) + I&(K(T))> I=U .... I, являются асимптотически независимыми величинами.
Как следует из теоремы 7.9.1, оценка
^^{^(^+/^(^[-/^(Х)] . (7.9.12)
спектра /рр (X) распределена асимптотически как, разность двух независимых %2-переменных. Из нее следует также, что отношение
асимптотически распределено как
(*№-»)(7-9Л4)
при Т—>оо. Этот последний результат может быть использован для построения доверительных интервалов отношения спектров
f» Мее(Х).
Как мы видели раньше, часто выгодно пользоваться осреднением периодограмм статистик. То же справедливо и в данном контексте. Для целых s (T), таких, что. 2ns(T)/T близко к Хф0(mod2я), рассмотрим статистики
m
/?> {%) = (2m + I)-1 ? /?> №Ш=°1\ (7.9.15)
И
т
ОД(*)+/?>(*) = (2m+l)-i 'S {/ОД (2"[S(r)+Sl)
S=-W ^
+ Jg(2^8JP + '1)}. (7.9.16)
Как следует из теоремы 7.9.1, эти статистики независимы и асимптотически распределены как /ее (X) %\j (К_1} (2т+1)/[2</ (К—\)Х х(2т+1)] и [X/^(X) + /8e(X)]x22J(2m+1)/[2/(2m+l)] соответст-венно.
Приступим теперь к обсуждению приложений к временным рядам, встречающимся в более сложных ситуациях при планировании эксперимента. Вычисления и асимптотические распределения получаются аналогично в случаях моделей нормальных случайных эффектов в рассматриваемом планировании. Shum-way (1971) рассматривал модель
Yj(t) = s(T)+nj(t), /=1, .... tf, (7.9.17)
где s(T) представляет собой фиксированный неизвестный сигнал и nf(t) — ряд, являющийся случайным шумом. Им было предложено рассматривать F отношений, вычисляемых в области определения частот. Brillinger (1973) рассматривал модель (7.9.1) также в том случае, когда ряды a(t) и Р;- (t) фиксированы, и случай, в котором задаются кратковременные ряды.
7.10. Упражнения
7.10.1. Покажите, что для рядов [X1(O, X2(Z)], Z = O, ±1, имеющих абсолютно суммируемую кросс-ковариационную функцию C12 (и) = COv(X1 (Z + и), X2 (Z)}, U и = 0, ±1, ..., имеет место соотношение /2і (А)== /12 (— X).
7.10.2. Покажите, что в условиях предыдущего упражнения коспектр рядов Xj(t)H и X2(O является квадратурным спектром рядов X1(Z) и X2(Z).
7.10.3. Покажите, что в условиях первого упражнения Z12 (X), —-оо< Х<оо, принимает действительные значения, если ^12(^)=^21 (и).
7.10.4. Предположим, что авто- и кросс-ковариационные функции стационарных рядов [X1(Z), X2(Z)], Z = O, ±1, абсолютно суммируемы. Используя тождество
I /1P(A)P = ZiP(X)Z2P (X),
докажите, что
I /12 W I2 </п (Х)/22 (X).
7.10.5. Докажите, что если dp (X) = 2? *~ШХ/ (Z), ZJp(X) = ^T)-1
Xd[T) (I) d(2T) (к) и ^ti\u\\c12(u)\ <оо, то для X^O (mod 2л) выполняется соотношение
E/iP W = Zi2(X)-T-O(T-1)
7.10.6. Докажите, что
T-I
т-\
2я
S = O 7-1
(0 =
^iP (0),
т-\
(b) ^ Z /{Г =4 ? [X1 (t)-c^] [X2 (0-^]=CiP (0)
s=l V ' ґ=0
7.10.7. Предположим, что [X1(O, X2(Ol» t = 0, ±1, являются стационарными рядами.
(a) Покажите, как коспектр рядов V1 (0 = X1 (0+X2 (0> V2(O = X1(O — X2 (0 можно оценить с помощью спектра мощности F1 (0 и K2 (0- "
(b) Покажите, как квадратурный спектр Im /12 (X) рядов K1(O = X1(Z + + I)-X1(Z-I) и K2(O = X2(O можно оценить с помощью коспектра K1(O и V2(O-
7.10.8. Покажите, что в условиях теоремы 7.4.4 вектор
(B7TY /2 (2я j W (a)* da) "1/2 [Re/Jp (X), Im (Я)]
имеет асимптотически нормальное двумерное распределение с дисперсиями [1 + Л {2X}] If11 (X) /22 (X) + {Re /12 (X)}*-{Im /12 (А)}*]/2, [ 1 - Л {2Ml If п (X) /22 (А)-{Re /12 (Я)}2 + {Im /12 (*)}а]/2,
и ковариацией
[1 —T) {2A,}] [— {Re /12 (X)} {Im /12 (X)}].
7.10.9. Покажите, что в условиях теоремы 7.4.4 | /Jp (X) | и I/JP (4u) I асимптотически имеют нормальное двумерное распределение с ковариационной структурой
