Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
ft J
Таким образом мы доказали, что
1пГ(*)=4іп(2*)+ |[і^НІ + (ї + 1п2вв)І!!І^], (14)
я => 1
1пГ(л:)=(-1— х^ (7-J-In2) + (1 — де)Inп — -Iln(Sin5Mr) +
CO
, Vl , sin (2ппх) л _,
+ Zilan Ш ' °<*<Ь
Этот ряд называется рядом Куммера.
Аналогичное представление для ф (х) дано Лерхом (Nielsen, 1906, стр. 204)
4> (Jf) sin (их) = —j cos (nx) — (і + In 2b) sin nx +
oo
+ — ln Ып) ^(2" + 1)**, 0<XC 1. (15)
n= 1
Из (14) вытекают интегральные формулы t
j ІпГ(лг) Sm(2mx)dx = ^t^!0t я = 1, 2, 3, (16)
і
I In Г (ж) cos (2дам:) = я= 1,2,3..... (17)
о
і
о
Далее, имеем
X
11пГ(*)</л:=у1п(2я). (18)
+ 1
\ In Г (f) = лг In je — де + In (2я). (19)
2
Эта формула может быть доказала следующим образом, 40 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
Из формулы умножения 1.2(11) следует
— — — —— тх т ~ 1 я»-1 In [Г(виг)(2я)2 2 т 2 }= 2 т-ЧпТ^х+^j.
г — О
Если устремить в этом выражении m к оо, заменить Г (тх) асимптотическим выражением 1.18(1) и заметить, что
т-1 1 х+1
Iim тгЧлТІх+^j= ^ 1пГ (x+y)dy = С 1пГ(*)Л, то получим (19).
Заменяя в равенстве (19) х соответственно на * + 2, дг + 3, ... ,
х-\-п—I и складывая полученные равенства, приходим к более общему соотношению х+п
5 In Г(x}dx = хInX+(*+1)In (х+ 1)4- — + *
+ (л:+я-1)1п(дг4-я-1)-лдг-|-(п-1) +-Jln (2*), (20)
я= 1, 2, 3, ....
1.10. Обобщенная дзета-функцяя Обобщенная дзета-функция определяется при Re s >¦ 1 равенством
С(з, я)= 5 {о + п)-\ о^0,-1,-2,... (1)
я = О
Она удовлетворяет функциональному уравнению
m-1
у(г, V)=y(s, т+ о) 4- Ц (n + o)"s. т = 1, 2, 3, ... <2)
я =0
Так как при Res>0 и Reo>0 из 1.1(5) следует, что
UU
(о + я)"* Г (s) = ^ «-'"+">' t*~l dt,
то
w і
Г(s)с (s, о) = С (1 — е-'Г1« = J x^t (1 — (In ^f~Х dx, (3)
о о
Res> 1, Re w > 0.
Рассмотрим интеграл
^ f-'e-т" (1 - е'1)'1 dt, 1 i01 ОБОБЩЕННАЯ ДЗЕТА ФУНКЦИЯ 41
взятый вдоль контура кругового сектора, вырезанного в начале координат (см. 1.5(1)). Мы получим более общее представление
оо е'Р
Г (s) С (s, V) = ^ ts~se~vt (1 — е-')-' dt, (4)
Re-s> 1, -|-<?<y, —(|-+?]<argu<y-?.
Используя обозначения п. 1.6, можно переписать равенство (3) в виде контурного интеграла
(0+)
2я» ї (s, о) = — Г (1 — s) \ (— ty-le~vt (1 — е-')"1 dt, (5)
со
Re о > О, I arg (—
Этот интеграл дает представление для ?(s, о), справедливое во всей плоскости s, за исключением точек S = I1 2, 3, ... Из этой формулы может быть полечено разложение Гурвица функции С (s, f) в ряд. Рассмотрим интеграл
$(— ty-'e-^HX—e-*)-1 dt,
С
взятый вдоль замкнутого контура, изображенного на рис. 1. Этот контур начинается в точке t = (2N-\-\)n и состоит из окр>жности К и петли L. При ЭТОМ ради) с окружности равняется t) -тс
(N — цеюе), а петля L не охватывает точек t =JLlra, + Аги, Jz бкі, ... В области, оіраниченной кои г> роч С, подынтегральная функция (5) аналитична и однозначна, за исключением точек ± 2тсг, + 4«, ... , ±2Nm, в которых она имеет простые полюсы. В сил) теоремы о вычетах,
J + J dt — 2яі 2 (? + ?').
К L п = 1
где Rn и R'n являются вычетами подынтегральной функции соответственно в точках 2пк1 и — 2n~i:
Rn = (2яя)*-' e 2 e~in*Vi, R'n = (2nKy-'e2
Если Res<0 и то интеграл вдоль К, стремится к нулю, когда
N—-CO. Поэтому, в силу (6), получаем формулу Гурвица
OO
?(s, 0) = 2(2*)* T(I-S) V я«-' sin (6)
п = 1
Re s < O1 О <os?l.
І-ПЛОМСЮПІ
Рве. 1. 42
ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
Наконец, полагая в формуле суммирования Плана Щ11)/{у)=»(у + 9Г!, получаем
OO
С(. ?)=Л_u^lLл. 2 f 5taIsarctg*) « m
S^e=T+* IТ—ІІЇГГЇ. (') t/ (®8+?)2 .
Re V > 0.
Эхо — представление Эрмита для t(s, о).
Из равенства (7) видно, что функции C(s, v) имеет только одну особую точку (простой полюс с вычетом 1) в конечной части плоскости s. Следовательно (см. 1.7(27)),
C(M) = -J-O, (8)
OO
І- fCA "»4-2 j s^T^n--(9)
lim
Re V > 0.
Продифференцировав (7) по s, положив затем s=0 и применив 1.9(9), пол}чаем
da)
В частном случае, когда s=—т (« = О, 1, 2, ...), имеем
(H)
где Br (v)—многочлен Бернулли (см. 1.13(3)). Чтобы доказать эту формулу, заметим, что если s — целое число, то подынтегральная функция в равенстве (5) является однозначной функцией от t, это позволяет применить теорему Коши. Если S=—т (т — О, 1, 2, ...), то пол>чаем
g-vt te~vi VJ tn-m-л
(- (Tm-tYZTfi=(-1 Tm-tTm* у=77=(- 2 1ГВ" <®> -ЦТ-
я—O
Таким образом, вычет подынтегральной функции в точке ?=0 равен
(т +1)1
откуда и следует равенство (11).
OO
1.11. Функция Ф(г, s, V)«= 2 +
п=0
Фуикция
<»
ф(г,в,о)=» 2 (® + я)г*2я, |2|<1» »3*0, -1,-2,..., <1)
п=0 I.II]
со
ФУНКЦИЯ Ф(г, s, о) -?"
ж= О
43
удовлетворяет уравнению
ш — 1
У (2, S1 ©) = Z^ (2, S, ЯІ + V) + 2 <® + ")^2"' (2)
п=0
2, 3.....—1, —2, ...
Поскольку
со
(© + IifsZn = (TvHs-1 (Ze-tYldt, ReV>о,Re s >О,
то из 1.1(5) вытекает интегральная формула
і cCts-i^v* .. 1 С ^-'g-'*-1" • <«, *.®>=г(Г)) «*-« dt (3)
