Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
- «іт1Ні+г)е~і1 ' -(1е': х '
('+T+-"*+ Г-юя)],
г I
хе 121 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 17
и окончательно
Я = 1
Если вещественная часть г отрицательна и п + 1 > Re (— г)>п, п — 2, .., то функция Г (г) может быть представлена интегралом Коши — Заальшютца (Уиттекер— Ватсон, 1962, п. 12.21):
OO я
г(2)=д[«г<- 2 4r\tz-ldt> -(«+')
О т =9
< Re z <— п. (9)
1.2. Функциональные уравнения, которым удовлетворяет Г (г)
Интегрируя 1.1 (1) по частям, получаем
00
Г(2)=Т j <я = 7гО+ *)>
т. е.
Г(1 +2) = гГ(г), (1)
Следовательно, если я—натуральное число, то
Г(2 + Й) = 2(2+1)(2 + 2)...(2 + Й-1)Г(2). (2)
Отсюда следует
Г (Z
(3,
lL^ = (-l)»2(2-l)...(2-«+l) = (-l)»Flll±Vr). (4)
Так как
00
Г(1)=Л е-1 dt = 1,
мы получаем
Г(Й+ 1) = 1.2.3...« = «! Из выражения 1.1 (3) следует, что
1(2)1(-2) = -2-.^(1-?"1
а= 1
н, так как
OO
Sill (tcZ) = TtZ JJ (l —
я = I
(см. Фихтеигольц, т. II, стр. 379), то 19 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
Отсюда следует, что
или
г«Г"-г> = --ггЬг <6>
'(i+'HT-bsW
Из (5) и (2) следует
я -1
[(Л—1)1]2 sin (JCZ)
т = 1
Из (7), (2) и (3) вытекает
г(ч4 + ')г(»+Т-')_ 1 TTP1 42* 1 Jr + ^jJi cos^ -I-Il (2Я! — 1)SJ'
Полагая в равенствах (6) и (1) г — тц-, получаем
m= 1
/1=1,2,3,... (9)
03
ОЇ
гЩ = 2 Je-^dfc=Vic. (10)
Докажем теперь формулу умножения Гаусса — Лежандра т - I _ і) -L-b»2
ПГ(2 + -Й=(2я>2 " " Г(т2)' « = 2,3,4,... (И)
г =O
Из 1.1 (2) следует, что
т — 1 , 1
П, - \ тг + -s-(m -1)
Г (г +ij »te« («If ЛГ», (12)
г = 0 П-*
где
N = mz(тг + 1)...(я12+ тп) X (тг + ти +1)...
... (тг + mit -f- т — I) «-««я+
Так как
Г (тг) = Iim (тп)тг (тп)\ [тг (тг + 1) ...(mz -f мл)]-1,
п -+со
то мы получаем
^UTT= Iim йт Ш + " (тп— 1)! (в!)"« тг™. (ІЗ)
"Kz) «-» оо
Обозначим правую часть этого равенства через Очевидно, что К не за-
K
висит от г. Поэтому К можно вычислить, положив, например, в равенстве (13) 2 =—. Таким образом, 1Д] ВЫРАЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИИ
«ЛИ
Ь'Ю'Ю-'О-=?1)-
Перемножая последние два равенства и принимая во внимание (6), получаем
т — 1 г — 1
а потому
K2 = M (2ic)m_1. (14)
Из равенства (13), определяющего Af1 видно, что К > 0, а потому из (12), (13) и (14) следует равенство (II).
Случай т = 2 в равенстве (11) дает формулу Лежандра для удвоения аргумента Г (г):
Г (2г) = 22г-1 я 2r(2)r(z+yj. (I
1.3. Выражение некоторых бесконечны? произведений через гамма-функцию
Из 1.1 (2) следует, что
>П [ЫГЫП
__»= і_
— со 1 >
ПМт1'+?П'+?П1ч?тП
п — 1
и так как = то
2 /я
^(ІМП)
-«•—•ПК«+ ^)0-?-;,)]-«'—»C'+oo F)- <"
я = 1 20 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
Из формулы 1.1 (3) находим
QO Tf
г (И)
і^ГЮ-ІК'+їтг)'"-
Л=1
—ПО+трг)*"1*7' »
Sc=O
и, следовательно,
• W-^+^ПгДг- <*>
Из (2) получаем
_Г(*1)Г(**) =TTZi+ Ui- г' ^ ш
л = 0
Формула Мелмша
—A-ni'+xf?)'"^ <6>
я =O
легко доказывается следующим образом. Из 1.7(3) следует, что
у OO JCJI
B=I
откуда, в силу равенства (2), вытекает искомая формула (5).
Положим теперь в формуле удвоения Лежандра 1.2(15) послецоватедьно 2 = 2~lv, 2~2v, ..., 2~nv и перемножим полученные п равенств. После сокращения мы придем к формуле
п
Г (w) = 2"» . 2s' Г (2"» V) JJI у= Г + 2"» ojj.
OT = 1
Это равенство, в силу 1.2(1), эквивалентно равенству
я
Г(1+®) = 2»' <»-г"я'Г(1+2-»гО JJ[y^=r(-J + 2~m»)|-
OT=I
Полагая п—*со, получаем формулу Кнара
+ + )]. (6) OT=I
Соотношение
ПІ'-ІїП-г'ЧІІ'«-'^- и 1.4] НЕКОТОРЫЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 21
является обобщением хорошо известной формулы 1.2(4). Его легко проверить, использовав выражение 1.1 (3) для каждой гамма-функции, входящей в правую часть, и заметив, что
т 1 „ . 171 1„.
? ^ =0 и IX е15" =(-1)'"-1. r = l "=I
Наконец, рассмотрим выражение
OO Л_М Л_?й\ (я — аі)(п — at)...(n — ak) __TT \ « /' \ я і
n(n — a1)(n — ai)...(n — ak) TT__
JUL
где ?,, bit bt, ..., Jft ие являются натуральными числами. Необходимое условие абсолютной сходимости этого бесконечного произве пения состоит в том, что ,
в»+ в« + — + ak — bt — bi —...—bk=*0.
Это условие также является достаточным, и если оно выполнено, то, воспользовавшись соотношениями 1.1 (3) и 1.2 (1), получим
^ П ^ "' "*" п] -ТГГ(?-Ц (8>
»-'(i-ii), » h.y-7 "=1
1.4. Некоторые бесконечные ряды, связанные с гамма-функцией
Формула Дуголла
<1>
V Г(а + я)Г(6 + я) I* Г<с+я)Г(</ + я)
я = — oo
____T(e + d~g~b — I)_
sin (яв)Sin (яй) Г(с — a)T(d — а)Т(с — b)T(d — b) '
Re(a + ft— с — </)< — 1, в, ft —ие целые
может быть доказана следующим образом.
Ясно, что ряд S является суммой вычетов функции
f (г)« Я Cto Uz) г(" + *)г(» + *)
/(Z) =S= я Ctg(KZ) r(c + 2)r(rf_j_2) .
соответствующих полюсам Z = 0, ±\, ±2, ... функции ctg (яг). Для больших значений |г| из 1.18(4) и 1.2(5) следует, что асимптотическое значение функции
Г(а + г)Г0 + г) Г(с + г)Г(</4-г) 22 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
