Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
я
B=I
Это и есть формула Бине.
Аналогичное выражение дает формула Бернсайда (Wilton, 1922, стр. 90)
oo
lnr(z) = (z—І-Jln(z-l)-z-l+ Iln (2^)- J
С (2л, z)
22л2я (2я -{- 1)'
п= 1
Rez^--L (11)
Для левых частей равенств (3) и (4) могут быть получены полные асимптотические разложения. Они имеют вид
1пГ(г+<х) = (г + <х —-LJlnz —z + -Lln(2it)-f-
+ ^trf1- +Ь "7(?+!)'''"" 0?
ГСЧ-ДГ«.+^ ",гг|<-
r(z + wr(z+ps)
'[1+г + Т+ («+!)%+2)+ "•]' la'gs|<«. <13)
Эти разложения выведены Бернсом (Barnes, 1899, стр. 64) и Ван-Эигеном (Van Engen, 1938) соответственно
1.19. Интегралы Меллина — Бернса
Из всех интегралов, для которых подынтегральное выражение содержит Г-функцию, наиболее важными являются так называемые интегралы Меллина— Бернса. Эти интегралы были впервые введены Пиьчерле в 1888 г.; Меллин развил их теорию (см. Mellm (1910), где даны также ссылки на более
_ г«і + «j — Pi — ( ?4 ГАММА ФУНКЦИЯ [Гл. t
ранние работы). Они были использованы для полного интегрирования іипер-геометрического дифференциального уравнения Е. В. Бернсом (Е. W. Barnes, 1908), см. также 2.1.3.
Интеграл
/W-
т + і OO
z2id J
Tjal +A1S)... Т(ат + Ams) Гflt + B1S)... Г (Ья -B„s) . „ Г (C1 + C1S)... Г (с, +C„s) T V1-D1S)...T (dg —Dgs)z as yl)
T — і оо
является типичным интегралом Меялнна — Бернса. Здесь предполагается, что у — вещесгвенное число, все числа Aj, Bj, Cj, Dj положительны и что путь интегрирования представляет собой параллельн)ю мнимой оси прямую, некоторые отрезки которой заменены дугами для обхода полюсов подынтегральной ф)нкции. Исследование, изложенное здесь, основано на работе Диксона и Феррара (Dixon, Ferrar, 1936). Введем следующие обозначения:
т п р q
«= S Ai+ S bJ- 2 cJ- 2 DJ> <2>
; = і 7 = 1 /¦=• /= і
tn п р q
р = 2 aj- 2 bj- 2 с>+ 2 <3>
; = 1 J = 1 J=I J — 1
(2 ч-ї + 2 »'-1- 2 2 "'+!)• »
j=i /= і /=I /=і
P = П (Aj)aJ П (Bf Ві П (Cjf <7 П (Djfl (5)
J=I /-1 / = 1 /=I
Для нсследовання сходимости интеграла (1) используем асимптотическое представление гамма-функции 1.18(6). Пусть (
я = я+ it (в, t — вещественное), г = Re'® (/?>0, Ф — вещественное).
Тогда абсолютное значение подынтегральной функции при больших значениях \t\ может быть задано выражением
--ІП
й 2 І*|Рі+хя-ї«*У- (6)
Возможны четыре типа сходимости интегралов (1).
Первый тип: а > 0. Интеграл абсолютно сходится при | Ф |< н определяет функцию, аналитическую в секторе | arg г | < min ^t1 yj. (Точка z = 0
при этом исключается.)
Второй mam a = O1 ?g?0. Тогда интеграл (1) расходится прн комплексных значениях z. При z>0 он абсолютно сходится, если і выбрано так, чго
-&>!+*. (7) 120) : РАЗЛОЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 65
При этом существуеі аналитическая функция от г, определенная в области faig«|<Jt и принимающая на положительной полуосн значения, определяемые равенством (1).
Третий тип: a=? = 0, Х<—1. В этом случае условие (7) выполняется при любом значении у. Интеграл абсолютно сходится при всех положительных г (но не при комплексных г) и задает непрерывную ф\нкцию от г (0<2<оо). В этом случае существуют две аналитические функции: одна из них регулярна в любой области, содержащейся в |argz|<n, |z|>p, и при z> р выражается интегралом (1); другая регулярна в любой области, содержащейся в | arg г | < я, 0 < | г | < р, и при 0 < z < р выражается интегралом (1). Эти две функции, вообще говоря, отличны друг от друга.
Четвертий тип: а = 8 = 0, — 1 ^ X < 0 Интеї рал сходится (вообще говоря, условго; при 0<z<p и при z > р, причем существуют две аналитические фмікции с іеми же свойствами, что и в предыдущем случае. В точке z = р имеем разрыв, и в этой точке интеграл может не существовать. Однако он имеет в этой точке главное значение в смысле Коши. Характер разрыва и главные значения исследованы в работе Диксона и Феррара (Dixon, Ferrar, 1936).
Иногда встречаются кратные интеї ралы аналогичной структуры. Примером интеграла типа Меллина — Бернса является (Уиттекер — Ватсон, 1962, п. 14.52):
І OO
( r(a + s)r(? + s)r(f-s)r(6-s)rfs =
-г со
ГМ-Р + 7 + в)-• (8)
ІЇуть интегрирования выбран так, чтобы полюсы функции Г (7 — s) Г (й — s) лежали справа, а полюсы функции Г (а + s)T (? 4-s)— слева от путн интегрирования. При этом предполагается, что числа а, ?, -j, 8 таковы, что ни один полюс из первою множества не совпадает ни с одним'полюсом из второго множества (дальнейшие примеры можно найти: 2.1(15), п. 7.3.6 и Ra-manujan, 1927, стр. 216).
1.20. Разложения некоторых тригонометрических функций в степенные ряды
Из 1.13(1) вытекают многочисленные разложения тригонометрических функций .в степенные рады (см. также аналогичные разложении, улученные Шваттом (Schw'att, 1932)). Например,
«clhz = 2z(e**- l)-l + z= 21 2!"Aa»(S
л =O
OO
IIfmO
OO
Z7In-I
2*я (2>n — l)Ban
---- і
B = I
OO
= 2^(- l)n+1 с (2Л) TT2nZan, I z I < «; (1)
. 1
гт-1
VSjf- ...
. = 2 ? (- l)n+' (2»« - 1) C (In) \z\<~; (2)
