Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
оо г
M*)= J J г-1 In (1 — z) dz яв F (г, 2),
я=1 О
(22)
которая является частным случаем формулы (14). Из равенства (18) следует соотношение
!,W = -Z1(I)-J-ln»z + *ilnz+?. (23)
Обозначим главную ветвь функции Li(Z) через Lf (z) [0<arg(z—1) < 2в]. Тогда из равенств (19) и (20) следует, что для любой ветви
L2 (z) = ?| (z)-+ 2пкі lnz-f Anrni1 п, т = 0, ± 1, ± 2, ...
Относительно дальнейших свойств см. О. Holder, 1928, стр. 312. Другие специальные случаи формулы (14) см. Ramanujan1 1927, стр. 40, 336; Rogers, 1905 ц Sandham, 1949. 1.1?! ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА 47
1.12. Дзета-функция Римана
Полагая в формуле 1.10(1) 0=1, получаем дзета-функцию Римана
oo
C(S)=Cfe 1)=ф (1,8, 1)=2 Т^Г, Re«>l. (1)
л=1
Следовательно,
OO
2Ь^1 = (1-2-)С(8) = Ф(-1,5,1), ResX); (2)
Я=1
OO
п=0
Таким образом, получаем следующие интегральные представления для функции C(s) (см. 1.10(3) и 1.11(3)):
со со
Г (s) С (s) = J -1)-« dt=2»"« j dt, Re s > 1; (4)
СО OO
(1 — 2*"*) Г (S) С (s) = j f*"1 (<* +1 )-> dt = 2«-« J dt, Re s > О;
OO
2r(s)(l-2-*)C(s) = J^df, Res> 1. Из 1.11(1) и 1.11(3) имеем
со
'»-••^'+^-OTjA* Res> 1;
со
(1 - 2«-*) ? (а) = Ф, (-1, > +1,0) = J^1) j ^7 dt, Re s>— 1. (8)
Из равенств 1.10(5) и 1.11(5) с помощью (1), (2) и (3) вытекают следующие представления функции C(s) в виде контурных интегралов:
(0+)
(s) = — r(l — s) $ (-^'(в'-ІГ'Л, О)
со (0+)
2я/(1-^2«-«)СМ = -Г(1 — s) $ (— ty*-4et + I)-* at, (10)
со (0+)
4ni (1 — 2~s) Q(S) = — Г(1 — s) ^ (^Pdt, (И)
OO
(5)
(6)
(7) 48 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
где
8^1,2,3..... I arg(— OIsSk.
Контур в (9) и (11) не содержит ни одной из точек вида t = ± 2ппі, а в формуле (10) — нн одной из точек вида t — (2n—1) кі. Из (1) и 1.10(7) получаем
J a + t*)2
(І + ?)2 (є***— і) о
Следовательно (Lindelof, 1905, стр. 103),
= С «»(»«HO« ^ (13)
J (1+f2)2 (е**'+1)
о
оо 1
Lch ITrfJl
«»)=t5W Га+^^ГУ* <15>
ch (Y5tf)
(14)
Эти формулы были выведены Иенсеном. Интегралы в формулах (12) и (15) определяют аналитическую функцию для всех значений s.
Приведем и другие интегральные представления (BruiJn, 1937)
OO
с (S) = (s — I)"1 -н я-1 sin (SS) I [In (1 + л:) — ф (1 + *)] x~*dx,
OO
с (1 -f Sj = (^S)-1Sin (Its) (1 +х) x-*dx =
OO
= Я"1 sin (Jts) ^ №(1 +-г)-И] X~l~sdx,
OO
С(т + S)=(-1)»-1 ffi^ff J Vм (1 + х)xr*dx, m= 1, 2, 3, ...
і формулы в 1.16(1). Далее
Эти формулы справедливы при 0<Res<l, функция ф,т> определена
- - - Да;
OO
С W ¦= + ^H=Ij (1+^)-(1+ *П xl~sdx,
О<Res<2, S9*:l. 1.12] ДЗЕТА ФУНКЦИЯ РИМАНА 49
Докажем, наконец, представление Римана для функции C(s),
-і 00 і-(і— — « * г ^ e(,)=_L_+ IJ " +t2)t-*»(t)dt, об)
і
где
OO
Л = 1
и б, является эллиптической 8-функцией. Интеграл в формуле (16) задает аналитическую функцию от s при всех значениях s. Из 1.1(5) следует, что
s
y-^'t2 dt = 71 2 Г (jj п-', Re s >0. м,
00 — — і 1 ——і 00
* 2 г(т)cWeJ eW' • W<а dt+ J eW'
Таким образом,
С помощью преобразования Якоби для тета-функции (Уиттекер и Ватсои, 1962, § 21, 51) выводим, что
4+4-Г-Г+ГЦ4-).
Подставив это выражение в интеграл, получаем
.-*г (!) с (S)=-I-K-Lt+ Д" Kt+ f. « Д-'*
о г
и, сделав в первом интеграле подстановку = приходим К формуле (16).
Относительно других интегральных представлений см. Ramanujan, 1927, стр. 72; Хардн, 1949.
Разложение функции ?(s) в степенной ряд имеет вид (Hardv, 1912, стр. 215; Kluyver, 1927, стр. 185) '
С («)-<«-»)-»+ 7+S Т. <*-!)*. (17)
я =I
где
т
Т„ =L^ Jlm J 2 Г1 In" / — (л + I)"1 lnn+1mj .
Положив в формулах 1.10(8)—1.10(11)'©= Г, получаем
C(O) = -I1 ;-(0)=—i-ln(2n); (18)
'If1(^s)-Fzrr)=-«К1)=7 О»)
Iitn
S 50 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
и (см. 1.13(7))
С <_ .Js-JS^4 .-1,2,?..., (20)
или
С(—2/л) = 0, :(2^)-(-1)^(2^5?., m=l, 2, 3..... (21)
Cl—(2» —1)1--(22)
Положив в равенстве Гурвица о = 1, получаем функциональное уравнение Римана дли C(s)
Т^1-®) (23)
или, в силу 1.2(6),
Введем иовую функцию, определив ее равенством
(25)
Иа доказанного следует, что она удовлетворяет условию
5(l-s)=5Cs). (26)
Эта функция известна, как ^-функция Римана. Относительно асимптотических представлений дзета-функции см. Hutchinson, 1925, Titchmarsh, 1935, 1936. Ряд других результатов имеется в книге Титчмарша, 1947. Для функции
oo
і(8)=2(йпу' Res>0* (27)
OT = O
подобной дзета-функции, из 1.11(1) и 1.11(3) следует, что
OO
1(8) = 2-^(-1, 8, D-ff^S* ReS>0- W
Положив в преобразовании Лерха 1.11(7) Z =—1, мы поручаем
следующее функциональное уравнение для L (s):
L (1-s) = (? Г (s) sin ^-L (s). (29)
Относительно дальнейших свойств см. Lichtenbauml 1931, стр. 641.
1.13. Числа и многочлены Бернулли
Числа Бериулли Bn определяются равенством
OO
Z(e*~ Ir1 = ^! B"W' г<2п> (1>
п=0 1.13] ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ 51
а многочлены Бериулли Bn (х)— равенством
OO
