Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью контурного интегрирования можно выразить через гамма-функцию следующие тригонометрические интегралы. Рассмотрим интеграл
^(г-1 —г)агРdz,
где С — контур, состоящий из верхней полуокружности I z I = 1 и ее диаметра с вырезами в точках z=O, ±1, причем радиус этих вырезов равен е. Устремляя 6 к нулю, получаем (см. Nielsen, 1906, стр. 158) следующий результат:
fr** —і „
Пусть контур С состоит из полуокружности I z 1=1, лежащей в правой полуплоскости, и из отрезка, соединяющего точки z = -|"'» z== — ' с вырезами в точках Z = O, ± і; если устремить радиусы вырезов к нулю, то, вычисляя интеграл
^(гг1 +zfz?-1 dz,
получим *
J
j (cos if COS ДО « = ^a г + ф j +''> + ^ , Rе , > -1. (30) Другие иитёгралы такого вида приведены в формулах 2.4(b) — Л4( 10;. 1,51: бета-функция 27
Теперь рассмотрим интеграл
C2C-Ie-OTjfei с> O1
?
где контур С состоит из отрезка вещественной оси от +8 до +/?, дуги окружности г = Re'f от <р = 0 до <f = ? ~ ^ ? ?), отрезка от z = Re'?
до ее1? и дуги окружности Z = Sei? от у = ? до ф = 0. Так как значение интеграла по этому контуру равно нулю, то полагая є—»0 и /?—оо, получаем
oo
С ,a Ig- cos P - iet sin Vdt = T(O)c-* е-Н, (31)
oJ
— y <?<-|-, Rea>0 или ? = ±у, 0<Rea< 1.
Полагая p= с cos 3, g = csin?, выводим отсюда
00 » ,, , в (* » . --S--Iat arctg -т-
\ P-I e-P'-'l' dt =Г (a) (p' + q») 2е P1 (32)
oj
/>>0, Rea>0 или р — 0, 0<Ree<l. Полагая = arctg — = arg s, получаем
со
С = Rea>0, Res>0 илн Res=O, 0<Re«<l, (33)
Oj
и, следовательно, имеет место более общее равенство
1
ft er* dt (а) г*, Re«>0, —^+n)<arge<|—8. (34) Из (32) следует
oo
^d -1 е-Ct cos 9 C08 (Ct sin ?) dt _ J. (a) c-a cos (35)
c>0, Re e>в, -T<P<|-;
j f«-le-tfcos|) an (rt sin ?) ^ = T(B)C-eSin (a?), (36)
c>0, Re«> — 1,— 28
ГАММА-ФУНКЦИЯ
[Гл. I
Если ? —у и с >0, то
о
Далее, получаем
OO
j t*-1 сOS(Ct)dt = C-T (a)cos (уу О < Re а < 1[ (87)
о
OO
j t*~l sin (et) dt = с"я Г (а) sin (уу — 1 < Re а < 1. (38)
(39)
j cos (aff) dt =-Ц-Г^соз в>0,
0 pa?
со
j sin (atP) dt = -^-Г ^ sin а > 0, р > 1. (40)
0 ре'
1.6. Выражения гамма- и бета-функции н ниде контурных интегралон
(0+)
Обозначим через \ f(t)dt интеграл, взятый вдоль контура С, который
начинается в точке 1, обходит начало координат против часовой стрелки и возвращается в исходную точку. При этом предполагается, что все особые точки подынтегральной функции, кроме < = 0, лежат вие контура С.
(О +)
Рассмотрим интеграл § e*t~" dt, в котором начальное и конечное значе-
— OO
ния аргумента t равны ссответствеино —я и-(-тс. Будем считать, что контур С состоит из нижнего берега разреза, идущего от —со цо — р, окружности < = ре1? (—¦ я Sg^ sg я) и верхнего берега разреза от —р до — оо. Мы получим тогда
(0+) OS
J е'Г* dt — 2і sin (яг) J e-°v-* dv + /,
-OO p
где I означает интеграл, взятый вдоль окружности 11 \ = р. Так как при Re 2 < 1 интеграл / стремится к нулю, когда р стремится к нулю, то, принимая во внимание 1.1 (1), получаем
(0+)
^ e'r*A = 2isin (тег)Г(І — г). (1)
—со
Отсюда при помощи 1.2(6) выводим представление Ганкеля для гамма-фуикции
(0+)
W-ET S et<r"dt' largii^- (2) I.6J ВЫРАЖЕНИЯ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 29
Так как обе части этого равенства являются целыми функциями от г, то равенство справедливо для всех значений г.
Если заменить в равенстве (1) г яа 1—2, то получим
(0+)
21 sin (%г) Г (г) = J e4z~l dt, |arg*|=grc. (3)
-OO
Равенство (3) может быть записано в виде
(0+)
21 sin (nz) T(z) = — J (—С) *-»«>-< dt, I arg (—01 sS*. (4)
OO
Точно таким же образом может быть получено более общее выражение, если рассмотреть контурный интеграл
(0+)
5 t*-ier*dt
ооей
н воспользоваться равенством 1.5(34). В интеграле в качестве начального и конечного значений arg t берут соответственно 8 и 2® -(- 5. Тогда
(0+)
T(S) = Zs (є*** — 1Г1 \ ts~le-K dt. (5)
оо>
— (J- +< arg t<— 5, 8=s?argf=s:2rc-f 8, Яд?0, ± 1, ± 2,... Заменив s на 1 — s и использовав 1.2(6), получаем равенство
asfoz-Jrv. »
Jufl 00€
— ^4-.8^<argC<-|— 8, 8<arg*<2rc-f!>,
которое справедливо для всех значений s. Наконец, рассмотрим интеграл
\tx-l(\—t)y-ldt=\f(t)dt, с с
взятый вдоль замкнутого контура, который начинается в точке А вещественной оси t, лежащей между О и 1, и состоит из петли, обходящей точку t= Ib положительном направлении; петли, обходящей ?=0 в положительном направлении; петли, обходящей t= 1 в отрицательном направлении, и петли, обходящей ? = О в отрицательном направлении. При обходе этого контура, функция f(t) получает в точке А свое первоначальное значение. Это значение положительно, и мы считаем, что его аргумент равен нулю. Первую петлю составим из отрезка прямой от точки А до точки 1 — р, малой окружности 11—1|=р и отрезка от 1 — р до Л. Аналогично составим вторую петлю. Третью и четвертую выберем так, чтобы они отличались от первой и второй только направлением обхода. Положив р—»0, получим U+. О+. 1-. 0-1
