Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
где r\(t) и r2(t) удовлетворяют соответственно уравнениям Риккати (2) и (3). Применив к (1.2) преобразование, обратное (1.4): z = yv^1(x), dx =
= -7^—, последовательно получим
и(х)
(V1 - n(t))z = M-1W-1^D ri(t)ujy, Mz = и~2у~гЬу,
откуда следует (1).
Непосредственно также проверяется, что (1) ^1'4-1; (1.21). • Лемма 2. Для того, чтобы (1.2) приводилось к (1.1) преобразованием (1.3), необходимо и достаточно, чтобы выполнялась факторизация через дифференциальные операторы (некоммутативные) первого порядка:
Mz=(V1-1--^- S2{x)<p) {^t-1J- S1(X)^z = 0,
где Si (х) и S2 (х) удовлетворяют соответственно уравнениям Риккати S[ + S2 + U1(X)Si + а0(х) =0, S2-Sl- ai(x)S2 + а'г - а0 = 0.
• Доказывается аналогично лемме 1.«
80
Глава 2
Лемма 3. Для того, чтобы (1.1) приводилось к (1.2) преобразованием (1.4), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения
-2v'v~x - VT1Vl + bi(t)u = U1(X), (А)
v" + Ct]v + a-av — b0(t)u2v = 0. (5)
• Проверяется или прямым подсчётом, или с помощью леммы 1 и дифференциального аналога формул Виета (лемма 1.8.1).«
Теорема 1. Уравнение (1.1) приводится к (1.2) преобразованием (1.4) тогда и только тогда, когда
v(x) = І і'(ж) I -1/2 ехр (-1/2 j Ci1(X)(Ix+ 1/2 j h(t)dt); (6)
{t,x}+B0(t)t'2 =А0(х), (7)
1 S ( і" \ 2
где {t, х} = 2 —,— 1(^) ~~ производная Шварца;
А0(х) = а0- 1/AaI - !/2^1, Bo(t) = b0 - 1/Abj - l/2b\
— полуинварианты уравнений (1.1) и (1.2) соответственно (т. е. инварианты уравнений относительно преобразований зависимых переменных у = = \(x)z, z = p(t)^; \(х), p(t) — произвольные функции);
X
v" + aiv' + a0v — b0v~3 exp(—2 / aidx) = 0, b1 = 0, (8)
v" + U1V1 + a0v — b0v 3exp(—2 I a\dx)x
X0
x[j bx(t(x))v~2 exp(- j аг(х)ах)ах}-2 =0, 61 ^0. (9)
xo xa
• Разрешив уравнение (4) относительно v, получим (6). Подставив затем (6) в (5), придём к уравнению
1 и" 3 / и' \ . D /,\„ 2
2 и А \ и
2
+ B0(t)uz = А0(х). (10)
2. условия приведения к наперед заданному виду
81
А использовав соотношение и = t', придём к (7). Наконец, разрешив (4) относительно и и подставив полученное выражение в (5), придём к (8) или (9) в зависимости от того, будет ли Ь1 = 0 или Ь\ ф 0. Действительно, уравнение (4) относительно и представляет собою уравнение Бернулли
и' = -(2^+a1)u + b1(t)u2. (4')
Общее решение уравнения (4') описывается формулой
иф =__У'2 ЄХр{- f CL1ClX)_
J b\(t(x))v~2 ехр(— J U1CIx)CIx + C1
где C1 — постоянная интегрирования. Если b1 = 0, то, полагая C1 = 1 и подставляя формулу (4") в (5), получим уравнение (8), а если Ьг ф 0, то, полагая C1 = 0 и подставляя формулу (4") в (5), получим уравнение (9).«
Заметим, что уравнения (1.1) и (1.2) обладают полуинвариантами ещё одного вида, а именно инвариантами относительно замены только независимой переменной dt = \(x)dx, dr = fi(t)dt. Соответствующие полуинварианты таковы:
<2оехр(2 I a\dx) = Aq, &оехр(2 / B^i) = B0. (11)
2.2. Терминология и обозначения
Уравнение (10) будем называть уравнением Куммера-Шварца 2-го порядка (КШ-2). Уравнение (7) есть уравнение Куммера-Шварца 3-го порядка (КШ-3).
Конечное уравнение для преобразования KJI есть (6), дающее явное выражение множителя v через ядро и.
Дифференциальное уравнение для преобразования KJI — это уравнение (5) при неизвестных функциях v(x) и и(х).
Линейным дифференциальным уравнением для множителя v преобразования КЛ будем называть уравнение (5) в случае известной функции и(х).
Нелинейное дифференциальное уравнение для множителя преобразования КЛ есть (8).
Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для множителя преобразования КЛ есть (9).
Указанные выше уравнения называются полными, если а\(х) ф 0, и
НеПОЛНЫМИ, єсли CL1(X) = 0.
82
Глава 2
Для уравнений (1.1) и (1.2) будут применяться также обозначения (ai(x); а0(х)), (bi(t); b0(t)).
Если уравнения (1.1) и (1.2) имеют так называемый полуканонический вид, т.е. когда а\(х) = 0, b\(t) = 0, то применяются обозначения
(ао(аО).(М*))-
Заметим, что леммы 1, 2 и теорема 1 дают не только критерии для редукции уравнения (а\(х), ао(х)) к наперёд заданному виду (b\(t); bo(t)), но и указывают путь для достижения заданной цели. Этот путь состоит в разработке методов интегрирования уравнений КШ и уравнений, связанных с преобразованием КЛ.
Принципиальная возможность осуществить указанную редукцию имеется. Разрешимость задачи Куммера для ЛОДУ 2-го порядка, для которых она и была поставлена, отличает её от аналогичной задачи для ЛОДУ порядка п ^ 3.
3. Приведение к уравнениям с постоянными коэффициентами
Очень важным классом наперёд заданного вида является класс уравнений с постоянными коэффициентами (±&і; бо), где бо — вещественная, а Ь\ или вещественная, или чисто мнимая постоянные.
Лемма !.Для того чтобы уравнение (а\(х); ао(х)) приводилось курав-нению (&і; бо) преобразованием КД (\А), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись факторизации:
а) через некоммутативные операторы 1-го порядка
