Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
86
Глава 2
где x Є (—сю, O) U (0, +сю), а rlj2 удовлетворяет характеристическому уравнению г2 ± m2 = 0.
В силу разрешимости задачи Куммера каждое ЛОДУ 2-го порядка является приводимым, т. е. приводится к уравнению с постоянными коэффициентами (±&1,&о).
Однако для ЛОДУ порядка п ^ 3 приводимость, вообще говоря, места не имеет и приходится выделять классы приводимых уравнений.
4. Уравнение Ермакова
Если в уравнении (3.9) положить U1 = 0, то придём к уравнению
v" + a0v-b0v-3 = 0, Ъ0ф0, (1)
которое было впервые проинтегрировано В.П.Ермаковым ещё в 1880 г. [122]. Значительно позже Е.Пинни (1951 г.) (см. Pinney [385]) вновь рассмотрел это уравнение и дал без вывода формулу для его общего решения2. В нашей работе [32] оно появилось при приведении уравнения (ао) к уравнению (&о); (1) используется во многих теоретических и прикладных исследованиях.
Предложение 1. 1. Общее решение уравнения (1) можно представить в виде
„2М _ J C1(V1Jy^dX + С2У1)2 + O0C11V2, C1 ф 0; (2)
[Х) - X ±2^Ъ-0у2 J y72dx + C2yl C1 = 0, (3)
где yi(x) — какое-нибудь частное решение уравнения (ао). а C1, C2 — произвольные постоянные;
2. Решение несингулярной задачи Коши для (1) при начальных условиях v(xq) = Vq ф 0, v'(xq) = v'0 можно записать в виде
v2(x)=y2 + b0Wo2yl (4)
где уь J/2 — базис уравнения (ао), удовлетворяющий условиям
2/1 (х) = 2/ю Ф- 0, 2/2(х0) = 2/20, у'Лхо) = У'10, у'2(х0) = V20 ф 0,
a Wq = 2/102/20 — ї/202/io 0 — вронскиан уравнения (ао).
2До недавнего времени на (1) ссылались как на уравнение Пинни (см. Беркович, Розов [76]).
4. Уравнение Ермакова 87
yv' - vy' = ±\ C1 - b
У1
0"
V
2 '
О2
(ydx-vdy) _2
ах = ±— , у ах = ±
\/Сі-6оу2«-2 ^Сіф2-Ь0
Ci У гГ2^ + C2 = ±^Ci(|)2-60,
откуда следует (2).
Пусть Ci = 0. Тогда v' — -yV = ±\fb~ov 1. Последнее уравнение есть
уравнение Бернулли относительно г>; решением его служит функция (3). Решение (4) нетрудно получить, исходя из формулы (2), если, считая v > 0, положить
Vi = C^1/2{dy / y~2dx + С2у), у2 = у(х) при Ci > 0,
2/1 = (-Ciу У у 2<іж + C2 у), у2 = * у{х) при Ci < 0,
и проверить, что функции г/i, у2 составляют базис уравнения (ао(х)) с вронскианом VFo(j/i,y2) = — у/Г\С\~\.»
Замечание 1. Известное ранее (Ермаков [122]) решение уравнения (1) не учитывало возможность (3). Между тем, эта формула позволяет найти решение сингулярной задачи Коши для (1) при условиях
v(xq) = 0, v'(xq) = сю.
Отметим также, что 1-му утверждению предложения 1 эквивалентно следующее предложение.
• Исключая do из уравнений (1) и (ао), придём к уравнению — vy" + + yv" = boyv~3, последовательно преобразуя которое, получим
fx{yv' vy') = boyv-з, 2{yv< vy')?(yv> vy') = -260|^(|),
или (yv' — vy')2 = — boy2/V2 + Ci. Если Ci ^ 0, придём к формуле (2). Действительно,
88
Глава 2
Предложение 2. Общее решение уравнения Ермакова (E), (1), можно представить в виде
,,2/ ч _ / («12/2 + /ЗіУі)(а2У2 + /32ш), -4&0 = («і/Зг - афг)2 > 0, (5) {Х> - X Ay2 + Вут + CyI -4Ъ0 = В2 — AAC < 0, (6)
где у2 = у\ J y{2dx.
• Переход от (2) к (5) даётся соотношениями Ci = aia2, Ci =
= 1/2(^1 + щ)- Легко устанавливается и связь между (3) и (5), а именно
012 = 0, bo = —af/3|/4, С*2 = ?i?2- Аналогично находятся соотношения между (2) и (6), а также между (3) и (6). •
Кроме того, отметим, что уравнение (E) интегрируемо в терминах решений линейного уравнения (uq), т. е. его общее решение принадлежит Эйлерову расширению коэффициента ао-
Замечательным свойством уравнения (E) является то, что для него справедлив один из принципов нелинейной суперпозиции.
Определение 1. (см., например, Winternitz [417]), Schneider, Winternitz [399], Беркович [50]).3
Будем говорить, что для дифференциального уравнения J-{х, у, у',..., у(и)) = о справедлив принцип нелинейной суперпозиции, если его общее решение представимо в виде нелинейной функции:
а) частных решений нелинейного уравнения;
б) произвольных постоянных;
в) частных решений присоединённого линейного уравнения.
В силу предложений 1 и 2 для уравнения (E) справедлив принцип нелинейной суперпозиции, представленный вариантами б), в). Покажем, что его можно выразить и формулировкой а).
Предложение 3. Возьмём решение (E) в виде
V2 = C1 г/2 + С2г/2Ш + С3уІ C22 - 4CiC2 = -460 ф 0,
где у\, у2 образуют базис (ф. с. р.) уравнения (ао)- Тогда решение (E) можно представить в форме
«2 = i??c^2' (7)
J=I г=1
где Cji, Cj2, Cj^ — частные значения произвольных постоянных Cb Съ, Сз, отвечающие частным решениям Vj уравнения (E): г»| = Cj\y\ + CjiyiVi +
^Подробнее о принципах нелинейной суперпозиции см. в гл. 3-5, 7.
5. Присоединённые нелинейные уравнения
+ Cjsy2. Cij — алгебраические дополнения элементов Cj7- определителя
Д =
ClI Ci2 Ci3 С21 С22 С23 С31 C32 C33
^0.
(8)
Отметим также, что уравнение (E) линеаризуется.
Предложение 4. Пусть N(v) = v" + a0v — b0v~3. Тогда
2V-^V[2V3/2N(V1/2)} = V'" + Aa0V + 2a'0V.
