Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Возможны три случая: 1) та = п. Единственный старший член есть —Abxfg2, который в силу своей единственности не может уничтожиться; 2) та > п. Опять имеем единственный старший член, а именно /3;
3) п > та. Имеем два старших члена: —Abxfg2 и —2д3Ъ. Они могут аннулироваться, если только 2п + та + 1 = Зп. Но при этом т = п — 1. Итак, рациональная функция может быть лишь правильной дробью.
Покажем теперь, что знаменатель д у дроби р(х) не имеет кратных корней, т. е.
и-1
р(х) = C0X^1 + ^ C1(X — Ti)-1, 1 = 1,71—1. і=1
64 Глава 1
y = N"1/4
/ ^Vb з/з \ , / 2Vb 3/9 сі ехр I —— x 1 I + C2 ехр I--—х '-
Аналогично можно рассмотреть уравнение, представленное в следующем примере. Пример 2.
у" + (JqX-2 - Ьх-1^ у = 0. (22)
Уравнение (22) допускает следующую факторизацию:
Ly=(v+ ^x-1 ± Vbx~1/2^j (v - ^x-1 т Vbx-1/2^j у = 0.
Частный случай (22) при 6=1 без использования факторизации рассмотрен в (Kovacic [338]), а случай Ъ = —1/4 в (Сансоне [213], с. 41).
Действительно, если д(х) = 0 (mod (х — Гі)1>), іі ^ 1, то первый член разложения р(х) на элементарные дроби будет иметь вид:
р(х) = C1(x - n)h + ... (21)
Подставив (21) в (18), получим следующую систему показателей: —Ii — 2, —2Ii — 1, —3U- А так как наименьшие их значения должны уничтожиться, то Ii = 1. При этом Ci удовлетворяют уравнениям: с3 — Зс2 + 2? = = 0 =>• Ci = 0, Ci = 1, Cj = 2. Отбрасывая нулевое значение Cj как невозможное, приходим к выводу, что старший коэффициентpn-i полинома f(x) должен быть целым положительным числом. Однако выражение Abxfg2 + + 2g3b может аннулироваться лишь при условии Арп_\ + 2 = 0 =ф- рп-\ = = —1/2, что противоречит доказанному выше. Итак, д(х) не имеет корней, Гі Ф 0, т. е. р(х) не имеет простых полюсов, Tj ф 0. Исследуем последнюю возможность: р(х) = cqx^1. Подставив в (18), найдём со = —1/2. А из (19)
следует q(x) = —Ъх + 1/16х~2. Уравнение (3) примет вид a2 + ^x-1Ot +
+ j^x~2 — bx = 0, откуда находим а = —^х±\/%х. Оператор (14) допускает факторизацию в квадратичном расширении Fq(Jx) поля Fq:
L= (т>- ^x-1 ± Vbxj (т> + ^x-1 т Vbx~
Общее решение уравнения (13):
9. Факторизация операторов 2-го порядка ... 65
Заметим, что выше была дана алгоритмическая процедура построения факторизации операторов 2-го порядка в квадратичном расширении Fi основного поля Fq. Иными словами, алгоритмично решается вопрос о существовании таких решений уравнений 2-го порядка, логарифмические производные которых принадлежат F1. Усовершенствование этой процедуры связано с применением метода многоугольника Ньютона и метода вычетов.
Замечание 1. Факторизация в Fi в некоторых случаях может быть заменена факторизацией в Fo.
Пример 3. Дано ЛОДУ полиномов Чебышёва
Ly = (ж2 - 1)у" + ху' - п2у = 0. (23)
Соответствующий оператор L допускает факторизацию в Fi = Fo(Va;2 — 1):
l = {^x2 -yd + n)(yjx2 -yd- п). (24)
Так как факторизация (24) коммутативна, то уравнение (23) распадается на следующие уравнения 1-го порядка:
\J X2 — Iy' — пу = 0, \J X2 — Iy' + пу = 0, интегрируя которые, получим ФСР
ух = ехр (m arccosa;), у2 = ехр(—т arccosa;). Полиномы Чебышёва определяются формулой:
Тп(х) = -2n(yi +у2) = 2~™+1cos(n arccosa;). Оператор (а;2 — 1)_1? допускает факторизацию в Fo = к(х):
(х2 i)-1l =(d+ + ^f](d- ^).
\ X — 1 J-п j п
Упражнение 1. (Vessiot [412], Picard [384]). Доказать, что гипергеометрическое уравнение
x(l - х)у" + [7 - (а + ? + 1)х]у' - a?y = 0
является приводимым, т. е. логарифмическая производная у'/у его нетривиального решения у(х) является рациональной функцией, тогда и только тогда, когда одна из четырех величин
а, ?, 7-а, 7 — ?
является целым отрицательным числом или нулем.
66
Глава 1
Упражнение 2. (Kovacic [338]). Показать, что уравнение
АхАу" = (4а;6 - 8а;5 + 12а;4 + 4а;3 + 7а;2 - Ъх + 1)у
имеет одним из своих решений функцию
у = х~3/2(х2 - 1) ехр(ж2/2 - X - 1/х).
10. Факторизация операторов в трансцендентных лиувиллевых расширениях поля F0
10.1. Определения и примеры
Пусть а(х) — однозначная дифференцируемая функция от х Є /, за исключением, быть может, счётного множества изолированных особенностей. Если а не является алгебраической величиной относительно Fq, то она будет трансцендентной величиной относительно _Fb и, присоединяя её к Fo, получим простое трансцендентное расширение Fo(a).
Пусть получается из Fq путём п последовательных трансцендентных расширений и не может быть получено меньшим числом расширений. Тогда говорят, что F* имеет ранг п над Fq .
Условием необходимым и достаточным, чтобы F0 (а) было дифференциальным полем, является соотношение a' = Q(а), где Q(а) — рациональная функция от а с коэффициентами из Fq .
Пример 1. Оператор
допускает факторизацию L = (T) — ?)(T) — а), где в силу аналога формул Виета (лемма 8.1) факторизация L примет вид L = (T) + а\ + a)(T) — а), причём а удовлетворяет уравнению Риккати с коэффициентами из F0:
Если а удовлетворяет уравнению a' = s(a), где s(a) — алгебраическая относительно а функция над F0, то в этом случае уже алгебраическое расширение Fi поля F0 является дифференциальным полем.
