Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
которая привела исходное уравнение к неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами
z + {Aq2/!2 - l)z = 2/chH. (6)
Эта подстановка вызывает восхищение у тех, кто занимается получением или применением точных решений. Но до работы автора [32] считалось, что замена (5) имеет исключительно эвристический характер. По этому поводу в книге (Пановко, Губанова [202], 2-е изд.) говорилось: «Замена переменных иногда позволяет преобразовать дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами в уравнение с постоянными коэффициентами. Универсальных приёмов таких замен не существует — всё дело в искусстве математика». (В последующие издания указанной книги её авторы внесли коррективу в это высказывание).4
Однако указанная подстановка совершенно естественно находится с помощью преобразования Куммера-Лиувилля. Последовательно имеем:
у = /ід/X(I — x)z, dt = ^—-dx, /і, a = const,
X (I — x)
«Л. M. Беркович обратил внимание авторов на неточность этого утверждения, поскольку в работах Куммера, а в особенности Лиувилля и Альфана указаны достаточно общие пути преобразования дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами к уравнениям с постоянными коэффициентами, хотя не всегда замену переменных можно выразить в конечном виде. Впрочем, неизвестно, следовал ли Буссинеск этим путём».
100
Глава 2
откуда
t = hn х
1 1 х l + exp(-^i)
Так как x(l — х) = I2 ехр(— л t)(l + ехр(— л t))~2, то подстановкой
Л Л
А1' 1 , A1 X /гг\
У=ТсїгГ' t=lln—x (5)
уравнение (4) приводится к виду
4А X^8ch3_Lt
pi
Положив X = 1/2, р = —^, вновь придем и к открытой Буссинеском подстановке (5) и к уравнению (6).
8.3. Уравнение Лиувилля как эталонное уравнение для метода ВКБ
Пусть дано уравнение
у" + аоу = 0, ао(х)>0, х Є I. (7)
Приближением Лиувилля-Грина (ВКБ-приближением) будем называть формулу
у « Aa0 1^4 ехр(г / aj2 dx) + Ba0 1^4 ехр(—і I af/2dx), (8)
где Аж В — произвольные постоянные.
Пример 1. (Ф. Олвер [197], с. 189, Фрёман H., Фрёман П. [226], с. 23). Покажем, что приближение (8) является точным решением тогда и только тогда, когда а0(х) = (ах + /3)~4, где а и ? — параметры.
Пусть уравнение (7) преобразованием у = u~xl2z, dt = udx приводится к уравнению с постоянными коэффициентами z + z = 0. В этом случае уравнение Куммера-Шварца имеет вид
8. Присоединенные линейные уравнения
101
D 1/2
Взяв и = Ci0 , получим уравнение
1 < _ъ_\ак
4 ао 16 I ао
0,
(10)
которое имеет общее решение ао (х) = (otx + /3) . Точное решение уравнения
у" + (ах + /3)-4у = 0
можно представить в виде
у = (ах + /3)
A COS ¦
1
В sin ¦
1
(12)
ciodx)), <S <0 (13)
Предложение 1. Приближение (13) является точным решением уравнения (7) тогда и только тогда, когда
а(ах + /3) а(аж + /3)
Естественным обобщением приближения (8) является следующее:
y^a~1/4(Aexp(l/2iV^5 j yfa^dx) + В exp(-l/2i\/^5 ^
ао(ж) = (аж2 + foe + с)
б2 - 4ас = 5 + 4.
(14)
• Заменим в (13) знак и на знак =. Это означает, что уравнение (7) преобразованиями
у = \и\ 1I2 exp(±l/2&i / udx)z, dt = udx
(15)
приводится к уравнениям с постоянными коэффициентами z±b\z + boz = 0, где 8 = Ъ\ — 4&0-
Уравнение Куммера-Шварца
1 и" 3/М'\2 1 x 2
(16)
при и(х) = yjao примет вид
1<
1
4 «о 16 \ ?o ) 4 Общее решение уравнения (17) имеет вид (14).
Sa0 = а0.
(17)
102
Глава 2
Таким образом, уравнение Лиувилля действительно является эталонным уравнением для метода ВКБ. В частности, эталонным уравнением может считаться и уравнение Эйлера-Лежандра
{bx + cfy" + у = 0,
где ао = {Ьх + с)~2 удовлетворяет уравнению
= 0.
Формула (13) будет служить точным решением для (7), если
IMq , ? = const, (18)
1?
4 ао
. 2
где \1 - г2 = 1, г = ±\/ ? — 1-Пусть
4 а0
/i = const, (19)
1 ар___5_ /
4 а0 16 I ао Hm - 7 = м. (20)
Если ц ф оо, то асимптотическое решение уравнения
у" + ао(х)у = 0, ао(х) — знакопеременная функция в / (7') даёт следующая формула
у ~ |ао|_1/'4(^4.ехр(^/Li — 1 / -у/1ctg|<^ж) + Вехр(—л/ц — 1 / \f\ao\dx)).
(21)
Она справедлива в точках, отличных от точек поворота (нулей ао), в которых тип решения меняется с колебательного на экспоненциальный. В литературе обычно рассматривается лишь случай ц = 0 (г\р = ±г).
Можно также рассматривать поведение решений на конечном интервале. Пусть
'—-¦^-Tf1(^f +-Л <22>
Хорошее приближение даёт формула (21), где л//л — 1 = г.
8. Присоединенные линейные уравнения
103
Если г2 = — 1, а второй и третий члены в правой части формулы (22) пренебрежимо малы в сравнении с первым, а именно а'0/ао ~ е, O0V0O ~ (2, б2 <С 1, то (21) примем за точное решение уравнения (7').
8.4. Приближенное решение А. Н. Крылова
Акад. А.Н.Крылов ([157], с.338-345) дал аналитический метод для нахождения приближенного решения уравнения (7), использовав для этого уравнение Лиувилля. Независимой переменной будем считать время t. Очевидно, если ao(t) при всяком значении t положительное, то уравнение (7) представляет некоторое колебательное движение. Пусть уравнение, соответствующее (7), имеет вид
