Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
1
S
{x,t} + A0(t)xl2(t) и описывается формулами
( -?2exp(Vfr[(t-k))+?1 оі-ї ехр(л/<5Ї~(? — к)) — аг
(3)
JZ1 2(x)dx = <
J_ 2A
S2 tg
1 ?
a2(t-k) al
имеются также частные случаи:
2(t - k)
афО;
В,
(4)
JZ1 2(x)dx = [exp(a(t — к)) — ?], ?(t — к) = / y12(x)dx. (5)
• Действительно, подставив в уравнение (5.8) выражение (2), получим уравнение (3). Что касается формул (4) и (5), то они следуют из обращения решения (5.8). •
Теорема 1 (Беркович [32,38]). Общее решение уравнения (2.7) можно представить в виде композиции t = t о т о ? о х, где t(r) — обращение какого-нибудь решения т = W0(t) уравнения {т, t] = B0(t); т(?) = (Ci + + С2О/(С3 + С4!;) — общее решение уравнения {т, ?} =0,а?(х) = w0(x) — какое-нибудь частное решение уравнения {т, ?} = А0(х), m. е. в виде
W0(t) = (Ci + C2W0(X))Z(C3 + CiW0(X)), C1Ci - C2C3 ф 0. (6)
К этому добавим, что функция ?(т(?(ж))) может быть получена из решений следующих уравнений КШ-3:
{t,t}+B0(t)t'2 =0, {t,Q=0, {ї,х} = А0(х)
(7)
• Если в качестве решений уравнений (7) выбрать те, которые фигурируют в условиях теоремы 1, то получим искомое решение уравнения (2.7). •
94
Глава 2
Теорема 2. Множество обыкновенных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка (ЛОДУ-2) всегда можно преобразовать друг в друга с помощью преобразований KJI (1.4), причем они определяются формулами (2.6) и
j exp^— j b\dt\zx2dt
Cl + C2 J ехр(— J a\dx)y1 dx
C3 + Ci J ехр(— f a\dx)y1 2dx' (8) CiC4 - C2C3 ф О,
где г/1 и z\ — какие-нибудь частные решения уравнений (ai,ao) и {bi(t),bo(i)) соответственно.
• Разрешимость уравнения КШ-3 (2.7) как раз и означает, что множество ЛОДУ-2 обладает указанным свойством. В то же время формулу (6) можно представить в виде
*2{t) Ci г/і (х) + C2 г/2 (х)
~й\ = п-ґ \ , п-ГТ' CiC4-C2C3^U, (9)
zi(t) С3уі{х) + СаУ2(х)
где г/i, г/2 и z\, z2 образуют базисы уравнений (ai,ao) и (&i,&o) соответственно. Из (9) непосредственно вытекает формула (8). •
Частным случаем задачи Куммера является задача преобразования уравнения в себя, например, уравнения (а(х)) в уравнение (a(t)).
Следствие 1. Редукция (а(х)) в (a(t)) осуществляется преобразованиями KJI, описываемыми формулами v = |i'|~1//2 (частный случай (2.6)) и
Vjt) Ci уі (ж) +С2г/2 (х)
—77л = п-( \ , п-ГТ' CiC4-C2C3^U, (1U)
yi(t) СзУі(х) + CAy2(X)
где Уі(х), у2(х) составляют базис уравнения (а(х)).
Пример 1. Преобразовать уравнение у" — 2х~2у = U в уравнение z — - 6t~2z = 0.
Базисы обоих уравнений легко находятся, так как заданные уравнения — уравнения Эйлера. Они таковы: у\ = х2, у2 = х-1, z\ = t~2, Z2 = t3. Согласно формулам (8) и (2.6) имеем
t5 = -4+-i, v = \t'\-1/2 =
р2х3 + q2
P1X3 + gl р2х3 + g2
2/5
P2X0 + Q2
где (piq2 — p2qi) ф 0. (v(x) определяется с точностью до числового сомножителя). Несложный вид конкретных преобразований получится, если
7. Симметрии линейных уравнений второго порядка 95
положить, например, р\ = q2 = 1,р2 = qi = 0 штр\ = q2 = 0,р2 = qi = I-Тогда преобразования KJI примут вид
у = x1/5z, dt = ^x~2/5dx или у = x4/5z, dt = -^x~s/5dx y ' 5 y 5
соответственно.
7. Симметрии линейных уравнений второго порядка
Будем говорить, что уравнение
у" + а\у' + а0у = 0, ак Є Cf, к = 0; 1, (1)
допускает однопараметрическую группу симметрии Ли:
х\ = f(x,y;a), yi = (р(х,у; а), а — параметр, (2)
если оно остаётся инвариантным после подстановки формул (2) в (1) (см. S. Lie, Sheffers [350], Овсянников [194], Stephani [405], Bluman, Kumei [276], Ибрагимов [132-134], П. Олвер [196]).
Например, уравнение Эйлера х2у" + р\ху' + р0у = 0 инвариантно относительно группы преобразований х\ = хеа, у\ = у. А уравнение у" + + 2Ъху' + Ъ2х2у = 0 инвариантно относительно группы преобразований
Xi = х, г/1 = у + аехр(—|ж2 ± \/Ъх).
С каждой однопараметрической группой связан инфинитезимальный оператор (генератор) (3.13), где дх\/да\а=0 = S,, ду\/да\а=0 = т].
Для примеров, рассмотренных выше, генератор X принимает соответственно вид X = x4r-, X = ехр(—\х2 ± у/Ъх)^-. Множество генера-
ох 2 ' ду
торов {X} однопараметрических групп, допускаемых уравнением (1), образует линейное векторное пространство L.
Если дополнительно ввести в нём операцию коммутатор [Xi, X2] = = XiX2 — X2Xi, обладающую следующими свойствами:
1) [aXi + ?X2,X3] = a[Xi,X3] + ?[X2, X3] - билинейность;
2) [^1,?] = — [X2,Xi] — антисимметричность;
3) [[Xi,X2],X3] + [[X2,X3],Xi] + [[X3, Xi],X2] = 0 - тождество Яко-би, то векторное пространство L станет алгеброй Ли. Чтобы построить алгебру Ли симметрии (однопараметрических групп) уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы
XF\F=0 = 0, (3)
96
Глава 2
где F — левая часть уравнения (1), т.е. F = у" + а\у' + а0у, а X — дважды
2
продолженный генератор X, а именно:
Х=аХ,у)?+ф,у)^+т(Х,у,уі)^
rj2{x,у, у',у"
ду"
Vi =
dx
Ці
dx
dx
дт] дх
+ ґдт, \ду
