Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Vх
факторизации:
v + Yx H (v + Yx + **) = (v + Yx +{v + Yx ct^
Заметим, что уравнение (22) допускает оо факторизации вида:
/ Ліуі+А2у2\ ( Aiyi+A2y2\ , 1N
L= l-D + аг+ Wl 2У2 ) [D - Wl 2У2 , 23і
\^ Aij/i + А2у2 J у Aij/i + А2у2 І
где Ai, A2 — параметры.
Пример 2. Факторизовать операторы V2, V2 — 1, V2 + 1.
Имеем следующие факторизации, выполняющиеся для всех х, за исключением особенностей «корней» факторизации:
V = ID + . Al , Vp- Лі
Аіа; + А2/ V Aire + А
Аіеж + А2е х) \ Аіеж + А2е 1 _ / ?> _|_ Ai sin X + A2 cos а; А - Ai sin х + A2 cos ж
Ai cos X + A2 sin X J \ Ai cos х + A2 sin ж
9. Факторизация операторов 2-го порядка в квадратичном расширении F0
9.1. Рациональные решения одного нелинейного уравнения
Пусть дано самосопряжённое (полуканоническое) уравнение:
у" + а(х)у = 0, a{X)eF0l (1)
допускающее (см. лемма 8.1) факторизацию:
(D + а)(Т> - а)у = 0, а = а(х), (2)
9. Факторизация операторов 2-го порядка ... 61
где а удовлетворяет уравнению Риккати
а + а2 + а(х) = 0. (3)
Лемма 1 (см., например, Капланский [142]). Для того чтобы факторизация (2) имела место в квадратичном расширении поля Fq, т. е. чтобы выполнялось условие:
а2 - р(х)а + q(x) = 0; p,q?F0, р ф 0, (4)
необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения:
р" + Ърр' + р3 + 2d + Aap = 0, (5)
2q = р' + р2 + 2а. (6)
• Система уравнений (3), (4) должна быть совместной. Будем исключать из неё а. С этой целью продифференцируем по х уравнение (4), и в полученное уравнение подставим (3). В результате придем к уравнению 3-й степени относительно а:
2а3 -pa2 + (2а +р')а +pa + q = 0. (7)
Умножим уравнение (4) на 2а. Получим ещё одно уравнение 3-й степени относительно а:
2а3 - 2ра2 + 2aq = 0. (8)
Вычитая из уравнения (7) уравнение (8), получим уравнение 2-й степени относительно а:
pa2 + (2а+р -2q)a - pa - q' = 0. (9)
Оно имеет одни и те же корни, что и уравнение
pa2 — р2а + pq = 0. (10)
А т.к. уравнения (9), (10) имеют одинаковые старшие коэффициенты, то должны совпадать соответственно и остальные коэффициенты уравнений. Следовательно, мы придём к соотношениям (4) и
pq + pa + q = 0. (11)
Продифференцировав (4) по х, получим выражение
2«/ = р" + 2рр' + 2а'. (12)
Из (11) в силу (4) и (12) придём к уравнению (5). •
62
Глава 1
Предложение 1 (см., например, Беркович, Цирулик [82]). Для того, чтобы уравнение (1) допускало факторизацию в квадратичном расширении F0, необходимо и достаточно, чтобы оператор (антисамосопряжённый) 3-го порядка L3 = D3 + AaD + 2а' допускал факторизацию в Fq :
L3 = (V2 + J1V + f0)(V-p), где J1, /о Є F0.
• Действительно, подстановка р = у преобразует уравнение (4) в
уравнение г"' + Aar' + 2а'г = 0, откуда в силу делимости оператора L3 на оператор D — р (см. п. 2, а также (Беркович [22], Беркович, Цирулик [82]), получим факторизацию в F0: L3 = (D2 + pD + 2р' + р2 + Aa)(D — р), где /i = р, /2 = 2р' + р2 + Aa, а р удовлетворяет (4). •
9.2. Примеры конструктивной факторизации
Пример 1. Факторизовать и найти общее решение уравнения
У"- (Ъх+ ^х-2^ у = 0.1 (13)
Прежде всего покажем, что оператор
L = D2 -[ъх+^х-2^ (14)
у'
не может быть факторизован в F0, т.е. а = — ? к(х). Пусть, напротив,
a = f j у, где (/, g) = 1, т = deg /, п = deg д. При этом функция а должна удовлетворять уравнению Риккати:
а' + а2 -Ъх- ^-х-2 = 0. (15)
Id
В силу сделанного предположения должно выполняться соотношение:
bx + jqX-2^j д2 = 0, (16)
откуда показатели степеней полиномов-слагаемых, входящих в (16), будут:
т + п — 1, т + п — 1, 2т, 2п + 1, 2п — 2. (17)
Частный случай 6 = 1 приведён в (Эрдейи [235], см. также Мордухай-Болтовской [185]).
9. Факторизация операторов 2-го порядка .
63
Возможны следующие случаи: 1) та > п. Как следует из (17), единственным старшим членом при этом будет /2, который не может уничтожиться;
2) та ^ п. Опять имеем единственный старший член, а именно Ьхд2. Таким образом, уравнение (15) рациональных решений не имеет, а потому факторизация L в Fo = к(х) невозможна.
Допускает ли (14) факторизацию в квадратичном расширении F± поля Fo? Для этого необходимо и достаточно, чтобы а(х) наряду с (15) удовлетворяла бы и уравнению типа (3). Исключая а(х) из уравнений (15) и (3), получим в силу леммы 1 систему уравнений для нахождения р и q (соответствуют (4) и (5)):
р" + Ърр' +р3 - АЪхр - |аГ3 - 26 - |ж"2р = 0, (18)
2q=p2 +р' -^х~2 -2Ъх. (19)
о
Задача сводится к отысканию рационального решения р(х) уравнения (18),
f
ибо в силу (19) функция q(x) также будет рациональной. Итак, пусть р = '-,
f
(/> fl) = 1> deg/ = та, degg = п. При подстановке р = ^ в (18) получим:
а2/" - /flfl" - --'///У + •-'/.</' + з/7'fl - з/У + /3-
-Abxfg2 - \x~2fg2 + ^х~3д3 - 2д3Ъ = 0. (20)
Полиномы, входящие в (20), имеют следующую систему старших показателей: 2п + та — 2, 2п + гп — 2, 2п + гп — 2, 2п + та — 2, 2та + п — 1, 2та + п — 1, Зта, 2n + та + 1, 2n + та — 2, Згг — 3, Зп.
