Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
+ II V (hv) H2 -1D Vh f - (hthv, v). (15)
Пусть N > 0. Положим
vjj (0 = г])д, (x) = min jexp [ J- st (x)J , Afj. Неограниченные операторы
433
Тогда яр ограничена. В силу упражнения 3.11.9.1 получаем
d
Vexp [-g- st(x)] i = yi /і=1
А
=4 exP[sx мі S1 x,iT {х) |а ^ "г- ^2 w і Vt {е) і2=^2 W- (16)
а=і
В (15) мы полагаем v (t, x) = ф (t, л:) == ехр WA/ (х) ] и h (t, х) = яр (х). Тогда, поскольку для любого to из H1
(ф/> ю) + (%, Vto) = (ф, — Аф, to) = О, левая часть в (15) равна нулю. Поэтому
dt Il Ч>Ф Il2 < 21 ф Vif f. (17)
Из неравенства (16) получаем
dt Il Ч*Р Il < 4 S2 Il Ч*Г II- т. е. dt ехр ( - 4" «"О Il *<Г Il < 0.
Следовательно, мы можем записать
1К-ф||<ехр (4- s4) Il Ij)/1|.
При N оо получаем неравенство (7).
Введем теперь асимптотические свойства, аналогичные (7) и (10), для произвольных конечных смешанных производных от ф (t, х). Пусть а ----- et], ..., ар — мультииндекс, где а, = = 1, 2, ..., d, и пусть Xa— произведение
Xct = Xai . . . AVv (18)
где Xa. — левоинвариантные генераторы в L. Полагаем
Р0 = д1к)Ха, Ра = д\к)Ха, (19)
где Xa = Xcci ... Xrijj — соответствующие элементы правоинва-риантной обертывающей алгебры [из (1.16)]. Лемма 2. Пусть
If (/. х) = (Paф) (t, X) или ф (t, х) = (Paq>) (/, X), (20)
и пусть X M — числовая непрерывная функция на G, которая возрастает не быстрее некоторой экспоненты. Тогда (xip, ip) ограничена для ограниченных t.
Xa ехр Ї-y St(X)I 434
Г лава 5
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала -ф = Pa ф. Тогда, поскольку левоинвариантные и правоинвариантные генераторы коммутируют, мы имеем
Paф = ехр (ІК) (A)kXJ = ехр ((A) f = ф, (21)
где / ? С™ (G). Следовательно, ф — решение уравнения теплопроводности. Таким образом, в этом случае лемма 2 является следствием леммы 1.
Случай Ч|) = Paф может быть сведен к предыдущему, если использовать соотношение
Xa = Ij ?ap (х) Xp ?
для элементов левоинвариантной и правоинвариантной обертывающих алгебр. Тогда мы имеем
Paф = OktXaff = YClafi(х)d'fXрф = ?(х) ї'і.'і-? ?
Согласно упражнению 3.11.9.3, коэффициенты aa? (х) возрастают не быстрее некоторой экспоненты. Поэтому последняя сумма и, следовательно, Paф удовлетворяют утверждению леммы.
Построим теперь новое множество векторных решений уравнения теплопроводности и покажем, что это множество является плотным множеством аналитических векторов для представления T группы G.
Лемма 3. Пусть f ? С~ (G) и ф (t, х) = ехр (tA) f (х). Тогда Ф (t, х) = f ф(/, у-Кх) TvU йу, иен, (22)
G
также является решением уравнения теплопроводности (2), регулярным при t > 0 с начальным условием
Ф(0, х) = \ї(у~Ч)Туи&у. (23)
Более того, при t > 0 функция Ф (t, х) аналитична по х G.
Доказательство. Пусть Ly — левый сдвиг на G, т. е. Ly4> (х) = ф (If1X). Поскольку А левоинвариантен, то для каждого у из G мы имеем [Ly, А ] = 0. Поэтому
(ж ~ А) ф'^ *)= J (ж - Д) fP^Т«и 6У =
G
= j Ly (± - А) ф(t, х)TyU dу = 0, (24) Неограниченные операторы
435
т. е. Ф (t, х) — решение уравнения теплопроводности (2). При t—>О ф(t, iflx) >f(y'1x), следовательно, *)—*jf(y~1X)ТуиАу. Пусть я|; — производная (20) от функции ф. Рассмотрим интеграл
(/. *) : j Ч" (/, У'1*) TuU йу. (25)
Положив у > ху'1, получаем
?(/, X) = у) H (х, у) ti//, (26)
где
H (х, и) = Txir,и.
Покажем теперь, что интеграл (26) абсолютно сходится. В самом деле, согласно неравенству Шварца,
ЖЛ У)\\Н(х, у)Ildyl2^
С
= jjl4>C. 0)1ехр t(^)J\Н(х, »/) И ехр [ — 4x(f/)jdi/J < J I ф (f, у) I2 ехр [Xx (г/)] ІЯ (х, у) |р dу j ехр [ - лт (у)] dу, (27)
a G
где X вещественно. Взяв X достаточно большим и использовав упражнение 3.11.9.2, получаем, что последний интеграл в (27) сходится. Для первого интеграла мы используем лемму 2. Так как
7IiSrv" "'^jr*-"'
\Н(х, У) Il < ехр [с + CT (г/)],
где с конечно для конечных х, предпоследний интеграл в (27) также конечен по лемме 2. Следовательно, интеграл (26) абсолютно сходится для ограниченных t и х.
Пусть Gn --- \х ? G: т (х) > N}. Тогда, если заменить в (27) G на Gnj то правая сторона в (27) даст удобную мажоранту для
j I ij) (*, у) ЦІ Я (х, у) Ildyj2. (28)
=V )
В самом деле, в силу последнего интеграла в (27) выражение (28) стремится к нулю при Л/ —-> оо равномерно для ограниченных t и х. Следовательно, функция
T(/,jf) = Hm \ у)Н(х, у)Ау (29)
N->°0G-G,,
/V
непрерывна, так как она является равномерным пределом непрерывных функций. Положим теперь Ij) = Рф и возьмем X ? C0- (Z x 436
Г лава 5
X G), где Z — полупрямая t > 0. Поскольку P левоинвариантен, мы имеем
J Ф Ifljc) Р% (L х) dt civ = J LuPip (t, х) X (l, х) dt dx =
= y~lx)l(t, x)dt.
Умножим обе стороны на Tyii и проинтегрируем по у. Согласно теореме Фубини, мы можем изменить порядок интегрирования. Из определений (22) и (25) получаем
J Ф (t, х) Р*х (t, х) dt dx = j W (t, x) % (/, x) d/ dx. (30)
Поскольку это равенство выполняется для произвольного X ? С" (Z X G), все производные РФ непрерывны в смысле теории распределений. Следовательно, Ф регулярна. Строго говоря, это было доказано только для числовых функций. Однако элементарный вывод этого факта 1738, 739 ] может быть легко распространен на функции со значениями в гильбертовом пространстве. Теперь генераторы
