Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяют условию (5) и, следовательно, являются генераторами группы U (р, q). Коммутационные соотношения для генераторов (9) группы U (р, q) могут быть получены с помощью коммутационных соотношений для pi (р 4- ц, R), заданных в (8). Условие эрмитовости для генераторов Mlk и Nih
M'ik = Mik, Nui - Nik (Ю)
налагает следующие условия на генераторы Akl'.
, (4-1, к, I^p или р ¦< к, I,
Akl = VkiAlk, Ekl=\ 1 и ^t 1 „ I Vй) I — 1, k с P < / или / С P < к.
Следовательно, задача поиска неприводимых эрмитовых представлений алгебры и (р, q) сводится к задаче поиска тех неприводимых представлений алгебры pi (р 4- <7, R), генераторы которых удовлетворяют условию (11). С практической точки зрения это значительное упрощение задачи, так как генераторы алгебры pi (р 4- <7> в противоположность генераторам алгебры и (р, q), удовлетворяют простым и симметрическим коммутационным соотношениям вида (8) (см. также гл. 10, § 2, и гл. 9, § 4).
Построение эрмитовых неприводимых представлений алгебры и (р, q) может быть выполнено следующими этапами: 1. Построение пространства представления. 440
Г лава 5
2. Определение действия генераторов Ajj, удовлетворяющих коммутационным соотношениям (8) и условию эрмитовости (И).
3. Доказательство неприводимости и неэквивалентности полученных представлений.
В случае компактной алгебры и (п) пространство представления Hnifi определялось старшим весом тп ----- (min, ¦¦¦, тпп), который размещался в верхней строке схемы Гельфанда—Цетлина (см. гл. 10, § 1). Мы определяем пространство представления некомпактной алгебры Ли и (р, q) также верхней строкой («старший вес») тп = (/H1,,, ..., тпп), п = р q, схем и так называемым типом представления. Тип представления определяется разложением числа р в сумму двух неотрицательных целых чисел а и ?:
p = a + ?. (12)
Если верхняя строка тп = (т1п, ..., /н„„) и тип (а, ?) заданы, то обобщенные схемы Гельфанда—Цетлина определяем следующим множеством неравенств:
м > tnjk > т]+и k+1, k=\, 2, ...,/? — 1, mlk >- '»і, /,+і + 1 > m2k >¦ m2, jt-i-i I " 1 > • • • > muh > (?, ш + 1. k = p, ..., n — 1, mh к+1 > tnjk > m!+b k+1, j = a + 1, . . ., k — ?, k = p, . . ., n — 1,
тк-p+2, /,4-І — 1 >" mk (',+ !, к >¦ mJt-P+3, /¦•+! — ('3)
-І» ¦¦¦ >- /"/,+ I, Ач I — 1 > k =P, . . .,11 — 1.
В настоящем некомпактном случае числа mlk пробегают интервал Imlj^4l + І» а числа Hikk — интервал (—оо, mk+b k+1 — 1 ]. Следовательно, пространство представления Н,„п всегда бесконечномерно.
Структура схемы т определяется следующим образом. Размещаем все числа mjk k-й строки между числами Inj k+1 и m/+1, k+1 (k + 1)"й строки, как в случае схем для компактной алгебры и (п). Потом сдвигаем каждый из первых а элементов mh „_lf ... • •¦, tna. п-1 (я —1)-й строки на одно место влево. Аналогично каждый из последних ? элементов (п — 1)-й строки сдвигаем на одно место вправо. Затем сдвигаем элементы „_2 (п — 2)-й строки относительно (п — 1)-й строки и т. д. вплоть до элементов т1р р-й строки включительно. Положение элементов тц j-й строки, j < р, относительно соседней верхней строки остается неизменным. Такая структура схем отражает свойства неравенств (13), наложенных на числа тГг Предполагается, что единичные векторы, соответствующие различным схемам, ортонормированны и что на них натягивается пространство представления Hm . Неограниченные операторы
441
Пример. Алгебра Ли и (2, 1). В этом случае мы имеем три типа:
(а, ?)-(2,0), (1,1) и (0,2). Соответствующие схемы имеют вид
'"13
т2з т зз
т,.
и
tri
22
т
її
т.
т2з т3:
т12
т,
т-
її
/м.
tu
23
mss
tri.
tri„.
т,
Числа Шц первой схемы удовлетворяют следующим неравенствам:
Ztt12 » AHl3 + 1 , '"13 > '«22 > '»23. '«12 > '«11 ^ т22.
а числа второй схемы — неравенствам
'«12 > 'H1:, ! 1, zn33 - 1 > Ztt22, /H12 > Zrt11 > ZH22.
Таким образом, бесконечномерное пространство представления Hmn определяется множеством целых чисел тп = (Ztt1,,, ..., тпп) («старшим весом»), которые удовлетворяют неравенствам
f?hn > Щп > • • • > m„,„ п = P [ ¦ q,
и типом (а, ?).
Чтобы получить эрмитово представление алгебры и (р, q) в Hnin, определим действие Aij, i, j = 1, 2, ..., п, на базисные векторы из Н,„п так, чтобы выполнялись коммутационные соотношения (8) и условия эрмитовости (11). В гл. 10, § 1, показано, что любой генератор Ak_hj k, h > 0, может быть представлен в виде коммутатора генераторов Akk, Akt к_л и Ак_ъ k с помощью соотношений
A. k-h = \А. /.-і- Ал, k-h\, A-h, к = \A~h, ft-i. А л, ft], h > 1 • (H)
Следовательно, чтобы определить действие произвольного генера тора Ail, i, j = 1, 2, ..., р -f- q, в пространстве Hnln, достаточна
определить действие генераторов Ahk, Ак_г, k и А
k, ft-1»
1.
2, ..., р + q. Действие этих генераторов на схему т ? Hm может быть определено так же, как в случае алгебры и (п). Обозначим через Uik^l (mi^i) схему, полученную из схемы т замена і
tri
/, к-1
на tri
/. ft-1
1 (I7lj,
