Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
т2п = ... = тпп = 0, а = 1, ? = 0. (35) Неограниченные операторы
445
Базисные векторы для такого представления имеют вид
Iiiin О О
ти „-і О U
0 . . .0
О
"hp
т
12
О
пи
(36)
Эти вырожденные представления соответствуют так называемым «лестничным» представлениям, которые были использованы для описания свойств мультиплетов элементарных частиц. Другая дискретная серия так называемых максимально вырожденных самосопряженных представлений получается тогда, когда компоненты
min удовлетворяют соотношениям
т1п ¦= — тпп, m.iri ¦=...= т,
Соответствующие схемы имеют вид
т1п 0 0 ... tnh п_і 0
= 0, сс Г- -1. (37)
0 —т1п
т
і, «-і
Inip 0 ... 0 Hii
Ui13 0 т:а
UI12 UI22
UI11
(38)
Эти представления также были использованы для описания свойств мультиплетов элементарных частиц [810]. Полная классификация дискретных вырожденных серий и полудискретных серий для общей алгебры u (р, q) еще не разработана.
Представления группы U (р, q). Задача интегрируемости представлений дискретной серии была решена Микельсоном и Нидерле [591] п Котецким [493]. Используя условие интегрируемости Саймона для вещественных алгебр Ли, они доказали, что каждое представление дискретной серии алгебры и (р, q), построенное методом Гельфанда—Граева, является дифференциалом унитарного однозначного представления группы U (р, q). 446
Г лава 5
Глобальная форма однопараметрических подгрупп группы U (р, q) была вычислена в явном виде Гельфандом и Граевым. Используя представление группового элемента g ? U (р, q) в терминах однопараметрических подгрупп, можно вычислить глобальную форму представления. Гельфанд и Граев выразили матричные элементы для глобальных представлений через обобщенные ?-функции. Однако они не смогли получить окончательных формул в замкнутом виде. Эффективное решение этой задачи было бы очень полезным для многих приложений.
Представления алгебр so (р, q). Дискретная серия неприводимых эрмитовых представлений алгебры so (р, q) была построена Нико-ловым [641 ]. Очень детальный анализ основной, дополнительной и исключительной серий представлений алгебры so (n, 1) в рамках схем Гельфанда—Цетлина дан Оттосоном [653].
§ 9. Комментарии и дополнения
Теория представлений алгебр Ли, рассмотренная в§ 1, основывается на работе Гординга [297]. Интересно, что теорема 1.1, дающая общую плотную инвариантную область определения для генераторов алгебры Ли, может быть легко распространена на полугруппы и даже на произвольные дифференцируемые многообразия.
Теория представлений обертывающих алгебр, приведенная в § 2, основывается на работе Нельсона и Стайнспринга [629]. Некоторые разрозненные результаты были известны раньше. В частности, следствие 4 теоремы 2.3 доказано раньше Сигалом [748].
Теория аналитических векторов была начата Хариш-Чандрой [367]. Он показал, в частности, что для определенных представлений полупростых групп Ли множество аналитических векторов (векторов хорошего поведения в его терминологии) плотно в Н. Затем Картье и Диксмье [174] показали, что если T ограничено или скалярнозначно на определенной дискретной центральной подгруппе Z группы G, то множество аналитических векторов для T плотно.
Понятие аналитических векторов и их приложения в § 3, 4 и 5 основаны на фундаментальной работе Нельсона [628]. Более детальное доказательство теоремы Нельсона 8.5.2 и различные расширения понятия аналитических векторов даны Гудманом [336 ]. Наиболее важная теорема 5.2, которая дает удобный критерий интегрируемости представления алгебры Ли, находит много приложений в физике частиц и квантовой теории поля (гл. 21).
Пример 5.1 неинтегрируемых представлений имеет тот недостаток, что оператор X = d/d<p не существенно самосопряжен. Нельсон [628І нашел пример, который удивил многих физиков: Неограниченные операторы
447
именно, он построил два существенно самосопряженных оператора А и В, коммутирующих на общей плотной инвариантной области, и показал, что глобальные преобразования ехр (ІМ) и ехр (UB) не коммутируют. Это показывает, что абелева алгебра Ли может не быть интегрируемой до глобальной абелевой группы, если оператор Нельсона А = ХЇ + ... -j- XJ1 не существенно самосопряжен.
Теорема 5.3 была доказана К- Мореном и Л. Морен [575].
Теория интегрируемости представлений алгебр Ли, использующая понятие слабой аналитичности, разработана Флато, Саймоном, Снелманом и Стернгеймером [269 ]. Упрощенный вариант этой теории, использующий только условия на генераторы Ли алгебры Ли, разработан Саймоном [765] и Флато и Саймоном [266].
Идея использования решения уравнения теплопроводности на группе Ли G для построения аналитических векторов для представления T группы G впервые была предложена Нельсоном ([628], § 8). В § 6 мы следовали упрощенному варианту этой теории, разработанному Гордингом [298].
Можно спросить, нельзя ли развить теорию представлений алгебр Ли, имеющую дело только с кососимметрическими ограниченными операторами. Тогда можно было бы освободиться почти от всех трудностей, которые встречались в этой главе. Эта интересная задача рассматривалась Дебнером и Мелшеймером. Они доказали такую теорему.
