Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
d
X1 = ^ аы (X)-^-, і = !, 2, ...,(! = dim L,
к=1
являются аналитическими векторными полями на G. Поэтому коэффициенты аы (х) аналитичны. Следовательно, оператор А является эллиптическим оператором с аналитическими коэффициентами. Хорошо известно, что любое решение параболического уравнения с аналитическими коэффициентами аналитично (см. [298], лемма 10.1). Следовательно, функция Ф (t, х) аналитична по X ? G.
Дадим теперь основную теорему этого параграфа.
Теорема 4. Пусть х > Tx — представление связной группы JIu G в гильбертовом пространстве Н. Пусть f (_ C^ (G) и Ф (t, х) = ехр (tA) f (х) — решение уравнения теплопроводности. Тогда для любых фиксированных конечных t > 0 (и всех f из С" (G) и и из Н) множество всех векторов
u(t)=\4{t, y-^TyUdy (31)
G
образует плотное множество аналитических векторов для Т. Доказательство. Функция
Тхи (t) := J ф (/, у-1) TxuIi dy -= J ф (t, у-1 х) Туи dу Неограниченные операторы
437
удовлетворяет всем предположениям леммы 3. Следовательно, функция TxU (0 = Ф (t, х) регулярна при t > 0 и при t > О аналитична по х ? G. При і --> 0 вектор и (t) стремится к регулярному вектору
V = U (0) = Ifiy-1) TuUdy.
Согласно теореме 1.1, множество всех таких векторов плотно в Я. Следовательно, в силу непрерывности по t множество аналитических векторов (31) также плотно в Я.
Плотное множество аналитических векторов (31) представления T группы G образует общую плотную инвариантную область определения для представления T (X) алгебры Ли L группы G. В самом деле, для любых h > 0 и X из L имеем
1 1 г _
X [Tcxp {!гХ)и (0] - и (t) ^ -J- J ff (/, у *) (Texp (/;А') — /) TyU dy =
= Я X У'1 exP - f & У'*) j 7> d^
Функция в квадратных скобках имеет предел
-і- ІФ (Л У'1 ехр (hX)) - ф (t, у-*)] =
= -mP- If (Lf1 ехр (ZiX) - f (,Г1)] ехр (/A) [(Xf) fr1)] = = ехр (tA) f ([f1) = y(t, If1),
где
f(X) = (Xf)(X)=Yai(X)-g-.
Поскольку f (У1) ? С" (G), функция ф (t, у1) является решением уравнения теплопроводности. Следовательно, вектор
[Т (Х)и] (t) ~ \y(t, у-1) TyUdy (32)
аналитичен согласно теореме 4. Ясно, что таким же образом можно определить действие любого произведения генераторов.
Следовательно, линейная оболочка всех аналитических векторов (31) дает общую плотную инвариантную область определения для представления X,- ... Xin -> T (Xii) ... T(Xln) обертывающей алгебры Е. 438
Г лава 5
§ 8. Алгебраическое построение неприводимых представлений
В предыдущих параграфах мы обсуждали общую теорию представлений алгебр Ли неограниченными операторами. Здесь мы представляем некоторое альтернативное явное построение неприводимых представлений некомпактных алгебр Ли, основанное на схемной технике. Эта техника работает для любых простых некомпактных классических алгебр Ли. Мы проиллюстрируем ее для случая алгебр и (р, q), так как и (1, 1), и (2, 1), и (2, 2), и (6, 6) и т. д. появляются в физике частиц.
Рассмотрим алгебраическое описание неприводимых самосопряженных представлений алгебр Ли класса и (р, q). Этот подход является прямым обобщением подхода Гельфанда—Цетлина для компактных алгебр Ли и (п), рассмотренных в гл. 10, § 1. Дискретная серия неприводимых представлений алгебры и (р, q), которая здесь строится, может рассматриваться как «ответвление» дискретной серии неприводимых представлений компактной алгебры Ли и{р + q).
Напомним, что псевдоунитарная группа U (р, q) определяется как группа линейных преобразований (р -f- ^-мерного комплексного пространства С+', которые сохраняют эрмитову форму
Z1Z1-I-
¦?+Уи
/1V1".
(!)
Поскольку U (/?, q) и U (q, р) изоморфны, мы можем ограничиться случаем U (р, q) с р > q.
Эрмитова форма (1) может быть записана в виде
(2)
где 2, .
Z GZ,
z представляет собой столбец, состоящий из zk, к == 1,
.., р +q, z* = (z\ ..., zP+i) -= Z1
и матрица о имеет вид
1
о =
I,
0
0 -/„
где Ip=-
0
(3)
0 1
Используя определение группы U (р, q), получаем
z*u*auz = z*oz, tifU (р, q).
Следовательно, в силу произвольности г имеем
и*си — а для ufU (р, q). (4)
Теперь мы можем дать эквивалентное определение группы U (р, q), а именно, U (р, q) — группа всех линейных преобразований в Cp+v, удовлетворяющих условию (4). Положив в (4) и (0 = Неограниченные операторы
439
= ехр (\tM), продифференцировав по t и приняв t = О, получаем, что генераторы M удовлетворяют условию
М* = a Ma (5)
с коммутационными соотношениями
[М, М'\ = MM' — М'М. (6)
Рассмотрим теперь матрицу Aij:
(Ali)lk = 6„6/ft> і, j, к, I == 1, 2.....p + ?. (7)
Эти матрицы удовлетворяют коммутационным соотношениям ачгебры Ли pi (р -j- q,
[Д/, Дії = м„ А- («)
Ясно, что каждая комплексная nxn-матрица выражается в виде линейной комбинации матриц Aij. В частности, каждый генератор M ? и (р, q), удовлетворяющий условию (5), может быть выражен через Aij. Действительно, (р 4- q)2 независимых матриц
Mkt = Akk, к=\,2,...,п,
Mkl = Akl 4~ Alk, Mkl = і (Akl — Alk), к < / < р или р С к < /, = А',, - і ('1/./ і- Л и), к < ;.> /, (9)
