Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
OO OO
2 -I-1! T (Af Uil Ilsfe = 2 Ж М" " exP ^ <
к=-- а к=0
Множество \ип (х)| образует полное ортонормированное множество в L2 (—оо, +со). Поэтому в силу теоремы 2 конечная линейная оболочка АТ(Д) функций \ип (х)} дает плотное множество аналитических векторов для представления (6) группы G. 416
Г лава 5
Каждая собственная функция ип (х) лежит в пространстве Шварца S, которое является областью определения D для T (L). Более того, из элементарных свойств полиномов Эрмита следует
п / п 4-1 \ vi . / п \ v2
Pun = — ) ип+1 + {-j-) «„_,,
^ . / n-f-l \V» - / n\V. (10)
Qun = -і ( —f— J ип+1 — 1^2") и„_і.
Поэтому плотное подпространство Лг<д> аналитических векторов для Г (А) является общей инвариантной плотной областью определения для представления (7) алгебры Ли коммутационных соотношений Гейзенберга.
Доказательство леммы 3.1 дает метод явного построения плотного множества аналитических векторов для T (А). Пусть E (X) — спектральное разложение единицы для T (А), a?= [о, Ь \ пробегает ограниченные интервалы в R1. Тогда векторы вида E (в) и, и ? Н, составляют плотное множество аналитических векторов для Г (А).
Мы уже видели, что при подходящем выборе плотное множество AT? аналитических векторов для представления х — Tx группы G образует общую плотную инвариантную область определения для представления X —> T (X) алгебры Ли L группы G и ее обертывающей алгебры E и каждый элемент из ArG лежит в Л j- (Д) (см. (7.32)1.
Если мы возьмем в качестве общей плотной инвариантной области определения для представления X-T (X) алгебры Ли L плотное множество Atg аналитических векторов для представления X —> Tx группы G, то будем иметь удовлетворительную связь между инвариантными замкнутыми подпространствами для алгебры Ли и для группы Ли. В самом деле, если D cz Aj-щ — инвариантное замкнутое подпространство для алгебры Ли, то для любых T (X) из L и и из D T (X)" и лежит в D и, следовательно,
Пхр (hX) и = ехр IhT(X)] U=^ILt (X)" и (11)
!г=0
сходится и дает элемент из D- Поэтому D также инвариантно относительно представления T группы G. Обратно, если D — замкнутое подпространство, инвариантное относительно G и содержащее плотное инвариантное множество Л аналитических векторов, то А Неограниченные операторы 417
также инвариантно относительно алгебры Ли L. В самом деле, согласно (11), для любых h > 0 и и из А имеем
h^A'l^l'JZL = j(X) и -I IiT(X)2 и-1----?D. (12)
Устремив h - > 0, получаем T (X) и f D.
§ 5. Интегрируемость представлений алгебр Ли
В квантовой теории и физике мы используем обычно непосредственно представления алгебр Ли. Однако во многих задачах глобальные групповые преобразования сами имеют прямое физическое значение. Например, если группа G содержит физическую группу Пуанкаре 11 как подгруппу, то (унитарные) представители Tx для х ? II описывают изменения заданной физической системы, соответствующие изменениям системы отсчета. Таким образом, во многих случаях нас интересуют те представления алгебры Ли, которые могут быть проинтегрированы до глобального (унитарного) представления группы G. Имеется много примеров, в которых глобальные представления привносят новые физические связи, показывая, что природа использует скорее представления групп, чем алгебр Ли.
В этом параграфе мы даем фундаментальную теорему Нельсона, которая устанавливает, когда представление алгебры Ли L косо-симметрическими операторами может соответствовать унитарному представлению односвязной группы Ли G, имеющей L своей алгеброй Ли.
Рассмотрим сначала связь этой задачи с аналитическими векторами.
Лемма 1. Пусть алгебра JIu L представлена кососимметри-ческими операторами в гильбертовом пространстве Н, имеющими общую инвариантную плотную область определения D. Пусть X1, ..., Xd — операторный базис для L, ? = | X1 [ -f- ... -f- | Xd |. Если при некотором s > 0 множество векторов и из D, для которых Il ехр (|s) и Ц < со, плотно в Н, то на H существует единственное унитарное представление T односвязной группы JIuG, имеющей L своей алгеброй Ли, такое, что для всех X из L
T(X) = х.
Доказательство. Условие || ехр (Is) и || < оо при некотором s > 0 означает, что и является аналитическим вектором для Поскольку любой аналитический вектор для 1 является аналитическим вектором для элемента Xf L, мы заключаем, что любой XfL имеет плотное множество аналитических векторов. Следовательно, согласно замечанию 1 к лемме 3.1, оператор ІХ самосопряжен. 418
Г лава 5
Пусть ехр — экспоненциальное отображение в том смысле, как оно определено для групп Ли (гл. 3, § 10, А), и пусть N — окрестность точки ев G, такая, что ехр является взаимно однозначным отображением из окрестности точки 0 в L на N. Для х = ехр X из N мы определяем Tx как унитарный оператор ехр X.
Пусть X, Y и Z лежат в L, и предположим, что ехр X ехр Y = = ехр ZbG. Тогда два степенных ряда
формально совпадают. Следовательно, если и такой вектор, что
||ехр(|Х_| + |К|)ы|<оо, Ilехр (IZI)«I <со, то ехр (X)ехр (Y)и —
= ехр (Z) и, т. е. TexpzU = TexpxTexp \-tJ- Теперь для достаточно близких к нулю X, Y, Z из L (таких, что абсолютные значения координат <s/2) существует (по нашему предположению) плотное множество векторов uf:D, таких, что |]ехр(|Х|-4-|У|)«|<оо и Ilехр (I Z|) и\\ <оо. Следовательно, если х и у из G достаточно близки к е, то TxTy = Txy. Это означает, что в окрестности точки е отображение х—*Тх определяет унитарный гомоморфизм локальной группы. Этот гомоморфизм сильно непрерывен. В самом деле, когда X—^ObL, то |J ехр (X)«— «|| —> О на плотном множестве, так как, согласно нашему предположению, Jexp (?s) ы|| < оо на плотном множестве. Более того, поскольку множество \ТХ\ равномерно ограничено, |ГЛ|| = 1, сильная непрерывность на плотном множестве может быть расширена до сильной непрерывности в H (согласно непрерывности всех операторов Tx). Следовательно, отображение Т: (х, и) --> Тхи из NxHb H определяет локальное унитарное представление группы G. Поскольку G односвязна, существует единственное расширение представления T до унитарного представления группы GbH.
