Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, если X1, X2, ..., Xn, А имеют общую инвариантную область определения, то обе стороны в (15) имеют ту же область определения и, следовательно, они равны.
Докажем теперь аналог леммы 2 для элементов из | О (H) |.
Лемма 3. Пусть ? и а лежат в \ О (H) |. Тогда
«Г < Г«(*) Radg)*«]?"-*• (27)
/г=1
Доказательство.Пусть g = | X11 +... +1 Xd |, а = | A11 +... ... -\-\At\, и пусть обозначает сумму по всем 1 < і <1, 1 < gi < d, ..., 1 < gn < d. Тогда, используя (10) и (18), получаем
«Г = 2' I AlXgn.. - X811 < I Xg„,... XtjAi I +
+2' 2 2 (adW--ad^aA)-x^,•¦
ft=1 Oc («. к)
Sij (л+1)
п
=^+2 * 2 (") (ad x^ • •ad x^ Xg« • • • Xg*+i
Ai=I
(28)
n
Ha последнем шаге мы использовали тот факт, что имеется перестановок в (п, k). Поэтому благодаря суммированию по g( мы Неограниченные операторы
405
находим, что каждое выражение (ad Xgn ... ad Xgl^i) Xgn ... Xgfc+1
і п'
появляется ^ ? J раз. Второе выражение последнего равенства равно второму выражению из (27).
В. Аналитическая доминантность
Теперь мы вводим фундаментальное понятие аналитической доминантности для элементов а и ? из | О (H) ].
Теорема 4. Пусть Iu а лежат в | О (H) L Пусть ? с < са, (ad?)"a < спа и
VOs)-=2?=-, (29)
п=1
X(S)=Jt^. (30)
О
Тогда ехр (Is) < ехр Icax (s) ].
Если с и сп такие, что с < оо и v (s) < оо для некоторого s > 0, то мы будем говорить, что а аналитически доминирует
Чтобы уяснить содержание теоремы, мы раньше докажем следствие.
Следствие 1. Пусть Iua лежат в | О (H) |. Если а аналитически доминирует то каждый аналитический вектор для а аналитичен для |.
Доказательство. Если а аналитически доминирует 1, то v имеет положительный радиус сходимости, и это свойство имеет место для к. Следовательно, по определению каждый аналитический вектор для а является аналитическим вектором для t.
Доказательство теоремы 4. С помощью рекурсивной формулы
л.
О — I / I, = СПпа +2(/0 (3!)
1
определим элементы п„ ( I О (H) ). Ясно, что .Tt1 = га, я2 = = с2а2 +C1Ca и каждое зт„ является полиномом по а. Покажем сначала методом индукции, что
«Г-1 <4 3V (32)
Заметим, что из | < са следует < cat'1' Поэтому (32) предполагает, что
V < Яя. (33) 406
Г лава 5
При n = 1 (32) утверждает, что аса. Предположим, что (32) выполняется для всех k с п. Тогда, используя лемму 3, предположение теоремы и неравенства (32) и (33), получаем
<*"«+!](;) [(ad?*)а]Г"*<
Ii=I
< Га +Yi (J)
к=I п
^ П"а + S ( k ) °k T n"+l k ^ ~С Я'І+1-
a=i
Таким образом, (32) и, следовательно, (33) имеют место для любого п. Пусть я (s) — степенной ряд
со
Я(К)==2"ІГ5"' (34)
п=0
( П\ п\
Согласно (31) и соотношению К 1 = _ ^, , имеем
<я+1 > -етттг -с "w-+ t >+1 -(^? • (35)
fc=l
Используя определения (31) и (30) для я (s) и v (s) и соотношение (35), получаем
-dd- Я (s) = ся (s) а + V (s) ~~ я (S), (36)
т. е.
^fL = Oan (S)/(1-V(S)). (37)
Поэтому из определения к (s) получаем
я (s) = ехр (сак (s)). (38)
Действительно, дифференцируя формулу (38), получаем (37), и, положив s = 0, получаем я (0) = | / | в согласии с определением (34). Используя (32), получаем наконец
ехр (Is) с я (s) = ехр (гак (s)).
Заметим, что мы нигде не использовали тот факт, что операторы A1, ..., A1 линейны или что пространство H полно. Неограниченные операторы
407
Следующее полезное следствие теоремы 4 может быть сформулировано без использования терминологии теории абсолютных значений.
Следствие 2. Пусть X1, ..., Xd и А —операторы в гильбертовом пространстве Н. Пусть k и /г,,, п = 1,2, ..., — положительные числа, такие, что для всех и из области определения оператора А
\XlU\<k(\Au\ + \u\), 1 <t<d, (39)
Ii ad Xlj... ad XinAu || < kn (|| Au || 1|«||) при 1 < і,,...,»„< d.
(40)
Предположим, что k < oo и
OO
2J (kn'n\)s"< OO
n=l
для некоторого s > 0. Если существует s > 0, такое, что
Х7\ il Ai' U I;
L4rs'!<00- (41)
л=0
то для (S1, ..., Sj), достаточно близких к (0, ..., 0), имеем
OO
Si S (42)
п—О Isgi1_____ in<d
Доказательство. Пусть I = | X11 +... Xd | и а = I А I + + I / |. Согласно (16), (ad Q«a = (ad ?)" | А |. Согласно (39), І с
< d/га и, согласно (40), (ad Qna < unkna. Поскольку v (s) = = Jj d"ktls"/ti\ < оо для некоторого s > 0, то, используя теорему 4, получаем, что а аналитически доминирует ?. Следовательно, по следствию 1 каждый аналитический вектор для а является аналитическим вектором для |, т. е из (41) следует (42).
Лемма 5. Пусть X1, ..., Xdи А —симметрические операторы в гильбертовом пространстве H с общей инвариантной областью определения D, и пусть А существенно самосопряжен. Пусть і = I X1 I + ... + I XrfI , а = I A I + I / |, I < ах и (ad ?)"а с
< спа с с < оо и сп < оо для всех п > 1. Тогда для всех конечных последовательностей I1, ..., in имеем
D(Tn)CzD(Xii-^Xin). (43) 408
Г лава 5
Пусть D = П D (An), и пусть X1, ..., Xd и А —ограничения _ _ "=1 _
X1, ...,Xd и А соответственно до D. Пусть ? = | X11 + ... ... + I Xrf|, а = I А I +1 /|. Тогда
