Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
І < са, (асі а < спа для всех п > 1. (44)
Если а аналитически доминирует то существует s > 0, такое, что множество элементов и ? D, для которых Цехр (fs) и || < < оо, плотно в H и каждый Xi существенно самосопряжен.
Доказательство. Докажем соотношение (43) методом индукции. Пусть п = 1. Если м ? D (Л), то по определению замыкания Л существует последовательность Uj в D (Л) =D со свойством Uj - > —> и и Auj —> и ~ Au. Поскольку ? < са, то | Xi | с са, і = 1, 2, ..., d. Оіедовательно, для всех і = 1, 2, ..., d
Il Xi (Ui — uk) Il < с (IIЛ (Uj — uk) Il 4 Il Uj — uk II) — О, когда j, k —* оо. Поэтому и лежит в D (Xi). По той же причш.е мы получаем, что если C = ad Xlfc ... ad XijA, то и лежит в D (С), т. е.
D(A)dD (ad Xifc ... ad XiA). (45)
Покажем теперь, что
D (Jn) с= D (IXli... XffiJ. (46)
Заметим, что из (46) следует (43) для случая п = 1, рассмотренного выше. Предположим, что соотношение (46) выполняется для некоторого п, и пусть и лежит в D (Л"+1). Поскольку Л = Л*, достаточно показать, что Xii ... XinIi лежит в D (Л*), т. е. что
(Лр, Xi ... X1U) = (Xin ... XiAv, и)
— непрерывный линейный функцио :ал от v из D. В силу (20) имеем Xffi ... Xi A = ЛXin ... Xf 4 Qn- Согласно предположению индукции и лемме 2, Qn (и, и) — линейный непрерывный функционал от v из D. Более того, поскольку и лежит в D (Л"+1), то А*и = (Au) лежит в D (An). Следовательно, (AXin ... XiJ), и) = (Xin ... XiV, А*и) по предположению индукции является непрерывным линейным функционалом от v. Поэтому соотношение (46) выполняется.
Кроме того, из (46) следует, что операторы X1, ..., Xd и Л оставляют D инвариантным. Неограниченные операторы
409
Покажем теперь, что f < са. Если и лежит в D, то и 6 D (А) и в D существует последовательность Uj со свойством Uj —> и, Au1- —» Au. Согласно неравенству ? < са, имеем d d
L Il XiU I = ? IimIl XiUl I < Iim с(\\ Auj|| +1|U11|) = с(\\Аи\\ + ||« ||).
1=1 І=1 оо /-»со
Поэтому і < ca. Используя неравенство (ad 1)" а < спа, подобным же образом может быть показано, что (ad 1)" а < спа.
Пусть теперь а аналитически доминирует так что степенной ряд V (s) и к (s) из теоремы 4 имеют положительный радиус сходимости. Пусть E (X) — разложение единицы для самосопряженного оператора А, и пусть В — множество всех векторов и, таких, что для некоторого ограниченного множества A E(A) и = и. Из следствия 2 спектральной теоремы (приложение Б.З) мы знаем, что В плотно в Н. Более того, BaD и || ехр (at) и || < оо для всех и из В и О < t < оо [согласно соотношению (2)]. Взяв s таким, что и (s) < оо, мы получаем, согласно теореме 4, что I exp^(gs) и I с I ехр Icax (s)l и || < оо для всех и из В. Любой аналитический вектор для | является аналитическим вектором для каждого Xi. Поэтому, согласно замечанию 1 к лемме J, каждый X1-существенно самосопряжен. Поскольку X,- cz Xi a Xi,
каждый X1 (= Xi) самосопряжен, т. е. X1 существенно самосопряжен.
Пусть L — алгебра Ли кососимметрических операторов, имеющих в качестве общей плотной инвариантной области определения линейное подпространство D cz Н, и пусть E — обертывающая алгебра для L. Говорят, что элемент Y ? E имеет порядок <п, если он является вещественной линейной комбинацией операторов вида Y1Y2 ... Yk с k < п и Yi ? L. Множество всех элементов из E порядка <п будет обозначаться через Ew. Если X1, ..., Xd, d = dim L, — генераторы в L, то операторы
Xi, Hij = XiXy + X7-Xi (47)
составляют множество линейных генераторов для ?(2> (см. утверждение 9.2.1).
Следующие две леммы и замечание показывают, что эллиптический оператор А = X? + ... + Х\ [см. (2.21)] играет особую роль в теории представлений алгебр Ли.
Лемма 6. Пусть А = X'i + ... + Xfl. Если А — произвольный оператор из jЕ(2>, то для некоторого k < оо
I ЛI < /е|А -Il (48) 410
Г лава 5
Доказательство. Для любого в = CilXi -+ CiijHij с Em имеем I В I < I a, I Xi I 4-1 Ciii I Hlj |. Поэтому достаточно доказать лемму 6 для генераторов (47) из ?<->. Для генераторов Xi, і = = 1, ..., d, и всех и из D получаем d d
? Il X1U Il2 •= ? (.XiU, XiU) = (- Au, и) с i=i 1=1
<((-La2-A + 4-)Mj И) = (4-(А-/)8И, ")=4-1^"7)"!2-
(49)
Следовательно, мы можем записать
1|А>||<(4),/!||(А -1)и\. (50)
Если и ф D, то обе стороны неравенства (50) бесконечны. Таким образом,
I Xf I С (d/2)',z I А — /1. (51)
Докажем теперь (48) для А = Hij. Пусть B+ обозначает ограничение оператора В* до D1 если В лежит в Е. Таким образом, (Xzi ... X1-J+ = (—1)" X1-л ... Xii. Пусть P — множество элементов ИЗ Е, состоящее ИЗ конечных сумм вида ? YrYr- Ясно, что
г
оператор —А лежит в Р. Более того,
— А + Hц = (X1- — X;-)f (X; — X,) ? XtlXk, і Ф j,
кфі, j
- 2Д + Я„ = 2 ? XfcXftl (52)
кфі
- A - Hii = (Xi f X1Y (Xi I Xj) + ? XtXk.
кфі. І
Поэтому если А = ? сі: jll і j, a;j вещественные, то существует а 0, такое, что
- a A -f AtzP. (53)
Рассмотрим теперь оператор 4А2 — H2ij. Мы имеем
4А2 - H\j = (2А - Hii) (2А + Hij) + Au где A1 = 2 IHij, А] лежит в ?(3> согласно (21). Согласно (52),
