Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
5° В качестве области определения может быть взято пространство аналитических векторов для представления T группы G, сопоставляемых с генераторами Ли представления T (L). Это пространство наиболее удобно в приложениях (§ 6).
6° В качестве области определения может быть взято пространство аналитических векторов для представления T группы G, сопоставляемых с решениями так называемого уравнения теплопроводности на группе Ли (§ 7).
§ 2. Представления обертывающих алгебр неограниченными операторами
Мы утверждали, что большинство наблюдаемых в квантовой теории н в физике частиц является элементами обертывающей алгебры. Чтобы гарантировать правильную интерпретацию измерений, мы требуем, чтобы эти наблюдаемые представлялись по крайней мере существенно самосопряженными операторами. Среди физиков широко распространена вера в то, что в унитарном представлении группы Ли элементы обертывающей алгебры всегда являются существенно самосопряженными операторами. Следующий контрпример фон Неймана (не опубликовано) показывает, что это не так.
Пример 1. Пусть G — трехмерная нильпотектная группа всех вещественных матриц вида
" 1 а г{
О 1 р
.0 0 1.
Закон композиции в G задается формулой
fa, Р, Yi [a', р', I''I = [« + P + P', Y + <Ф' -j- T'j. (2) Подгруппа [0, 0, у], у (Е ^?1, является центром в G.
а, р, yC-R1- (1) 388
Г лава 5
Пусть H = L2 (—оо, оо). Отображение
т[а, p.v]"W = expliA(7-f x?)]u(x + a), и?Н, (о)
определяет унитарное представление группы GbH. Согласно определению (1.11), мы находим, что генераторы однопараметрических подгрупп группы G1 соответствующих параметрам а, ? и у, имеют вид
T(X) = d/ck, T(Y) = Vx, T(Z) = V.. (4)
Например, для подгруппы [0, ?, 0], согласно (1.11) и (3),
имеем
T (Y) и = Hm exp(ibf = П.хи, (5)
?+o P
Генераторы (4) удовлетворяют соотношению [Т (X), T (F)] = = T (Z), которое при X = —1 эквивалентно гейзенберговым коммутационным соотношениям [р, q \ = —і. Следовательно, обертывающая алгебра для G отображается на множество всех обычных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Хорошо известно, что многие из этих операторов симметричны, но не существенно самосопряжены.
Этот пример показывает, что унитарность представления группы не гарантирует того, что образы элементов обертывающей алгебры E представляются существенно самосопряженными операторами. Поэтому мы должны найти некоторый дополнительный критерий, который позволит определять, когда элемент M из E представляется существенно самосопряженным оператором T (M).
іМьі видели, что представители іT (X), X Cz L (G), в унитарном представлении T группы G являются симметрическими операторами на области Гординга Da (§ 1, Б, утверждение 2). Теперь мы расширим этот результат на определенные элементы обертывающей алгебры E алгебры Ли L. В дальнейшем мы будем иметь дело с универсальной обертывающей алгеброй правоинвариантной вещественной алгебры Ли L (гл. З, § З, Е).
Определим в E операцию + формулой
M = ^fli ...,-Xi ---X1- S fi; ... І Xt • •• ХГ, (6)
і— I1 in I1 іп І-Л I1 in in Ij'
ii •¦ 1п
где для каждого X m L
X+ = —X. (7)
Отображение M ->¦ M+ определяет инволюцию в Е. Говорят, что элемент M симметричен в Е, если M = M. Неограниченные операторы
389
Утверждение 1. Пусть
M = Ti a. Xi ... K1 ?Е. (8)
iI - ln
Оператор T(M), определенный формулой (1.17), удовлетворяет соотношению
(Т (M) и, V) = (и, T (M+) V), и, V G D0. (9)
В частности, если M = M+ в Е, то T (M) — симметрический оператор в Н.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Повторяем вывод утверждения 1.2 для произведения Xfi ... Xfn и в результате получаем
(Т (M+) и, v) =I ? Uii..^lT(Xtn)... T (Xti) и, tA = Vi1 - In I
= («. S ail...iT(Xh)...T(Xit)v\=(u,T(M)v). (10)
V іг-іп I
Поэтому если M* = М, то T (M)* = T (M), т. е. T (M) симметричен на Dg.
Выведем теперь критерий Нельсона—Стайнспринга, который позволяет определять, когда симметрический представитель T (M) элемента M обертывающей алгебры E задан существенно самосопряженным оператором.
В этих рассмотрениях важную роль играют так называемые эллиптические элементы обертывающей алгебры. Говорят, что элемент L из E эллиптичен, если он эллиптичен как дифференциальный оператор в частных производных на G. Напомним, что формальный дифференциальный оператор
L(x,D)= ? Oa(X)D*, х={хъ . . ., xn\?G, (11)
0
где
Da = д^/дхУх^ ...дх»п, I a I = O1 + ... + а„, (12)
эллиптичен, если для любого вектора ? = (I1, ..., ?„) ? Rn о-ли-нейная форма
L (х, g) = ? аа (X) Iа, Г = ^ .. • g««f I ф 0, (13)
|а|=с
отлична от нуля. 390
Г лава 5
теорема 2. Пусть G — группа Ли, ах-> Tx — унитарное представление группы G. Если L — эллиптический элемент пра-воинвариантной обертывающей алгебры для G, то
TjU) = (T(L))*. (14)
В частности, если L эллиптичен и симметричен, tno T (L) существенно самосопряжен (с. с. е.).
доказательство. Рассмотрим сначала частный случай эллиптического элемента L, представимого в виде L = K+K при некотором К 6 Е. Для доказательства существенной самосопряженности А = T (L) объединим следующие два факта.
