Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
(TsU) (X) - а"1/2и (-?^-), utH. (23)
Генераторы однопараметрических подгрупп задаются формулами
T (X) = d/dx, T (V) = і ехр X. (24)
Симметрический элемент M — XY + YX в обертывающей алгебре E группы G имеет представителя T (XY + YX) = 2iexd/dx + + \ех, который, согласно утверждению 2.1, является симметрическим оператором. Чтобы проверить, что M с. с. с. или может быть расширен до с. с. с. оператора, нам следует найти его индексы дефекта согласно теореме 1.4 приложения Б. Решая дифференциальное уравнение первого порядка М*и±= ±ш±, получаем
D+ = je ехр [ — ~ (д- + ехр (_*)) jJ, D_ = (О).
(25) 396
Г лава 5
Множество D_ тривиально, так как второе решение
— С ехр J^--- (х — ехр (—.v) j
не лежит даже в L2 (—оо, +оо). Поэтому индексы дефекта совпадают с (1, 0) и, следовательно, по теореме приложения Б. 1.4 оператор T (XY + YX) не имеет самосопряженных расширений.
Следует также подчеркнуть, что все вышеизложенные результаты справедливы при предположении, что представление алгебры Ли получено из заданного унитарного представления соответствующей группы Ли согласно соотношению (1.11). Эти результаты могут быть не верны, если мы имеем представление алгебры Ли, которое не интегрируется до глобально-унитарного представления соответствующей группы Ли. Пример рассматривается в гл. 21, § 5.
Дадим теперь интересное приложение теории представлений групп и оператора Нельсона в квантовой механике. Хорошо известно, что одной из основных задач квантовой механики является построение области определения D cz Я, на которой оператор энергии самосопряжен. Приведем пример, который дает решение этой задачи, использующее теоретико-групповую технику.
Пример 3. Пусть X1 = д/дх, X2 = ix, X3 = iKx2 и X4 = — \1 — кососимметрический базис алгебры Ли L на L2 (^1) с К ? R1. Очевидно, что L нильпотентна с очевидными коммутационными соотношениями и что подалгебра L, порожденная элементами X2, X8 и X4, инвариантна. Из теоремы 3.5.1 мы знаем, что каждый групповой элемент нильпотентной группы Ли G, сопоставляемой с L, может быть записан в виде произведения элементов однопараметрических подгрупп. Так как все однопараметрические подгруппы в L2 (І?1), порожденные операторами Xk, унитарны, то отображение
g(а) -•>Te (а) = (26)
задает унитарное представление группы G в L2 (R1).
В силу (22) и (6) оператор Нельсона А эллиптичен и симметричен. Поэтому в силу теоремы 2 оператор
4
T (А) = 2 T (?)2 = - .V2 -Kx*-I
к=I
существенно самосопряжен на области Гординга Dg для представления (26). Отсюда следует, что оператор энергии для ангармонического осциллятора, который совпадает с —T (А) — I, также существенно самосопряжен на Da. Неограниченные операторы
397
Очевидно, что этот метод может быть обобщен на большой класс операторов энергии H = H0 + V с потенциалом V (х) ==
= І Ckrk.
§ 3. Аналитические векторы и аналитическая доминантность
В этом параграфе вводятся два фундаментальных понятия: понятие аналитических векторов и понятие аналитической доминантности.
В разделе А мы рассматриваем основные свойства аналитических векторов для неограниченных операторов и, в частности, доказываем, что каждый самосопряженный оператор имеет плотное множество аналитических векторов. В разделе Б мы развиваем исчисление абсолютных значений операторов, которое служит основой для теории аналитической доминантности операторов.
В разделе В доказывается основная теорема исчисления абсолютных значений и вводится с его помощью понятие аналитической доминантности.
Наконец, мы развиваем теорию аналитической доминантности для операторов, составляющих алгебру Ли.
А. Аналитические векторы
Пусть А — оператор в гильбертовом пространстве Н. Элемент и (z H называют аналитическим вектором для А, если ехр (Лв) и разлагается в ряд с положительным радиусом абсолютной сходимости, т. е.
2-I^Ucoo (1)
п=0
для некоторого вещественного 0. Если Л ограничен, т.е. Il Л« Il с СІ «II для каждого и ? H, то
2 ~ Il А»и || s" < ^ Cs- = ехр (Cs) < оо.
л=0 п=0
Поэтому для ограниченного оператора Л каждый вектор и из H является аналитическим вектором для Л. Таким образом, представляют интерес только аналитические векторы для неограниченных операторов. 398
Г лава 5
Если и и V из H — аналитические векторы для Л, то au + ?i>, a, ? ? С1, также аналитические векторы. В самом деле, используя неравенство
IА (аи + ?o) Il < I a 11 /4« I -j- I ? 11 Avl
получаем
СО OO
JJ Jf II An (ам + т II S" < I a I ^ MM Sn +
п=О л=0
+IPiSi^1
п—0
Поэтому аналитические векторы для оператора А образуют линейное подпространство в Я.
Понятие аналитических векторов полезно, так как для некоторого класса неограниченных операторов они образуют плотное множество в гильбертовом пространстве Я. В самом деле, имеет место следующая лемма.
Лемма 1. Если оператор А самосопряжен, то А имеет плотное множество аналитических векторов.
Доказательство. Эта лемма является прямым следствием спектральной теоремы. В самом деле, пусть E (X) — спектральное разложение единицы, сопоставляемое с Л, и пусть б = la, Ь] — ограниченный интервал вещественной прямой. Тогда любой вектор из области значений оператора E (б) является аналитическим
