Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, особенности классов Р, Q, JEi, S, Т, U (в частности, все особенности коранга 3 в списке) не примыкают к Ж.
Этим закончено доказательство утверждения 3°. Из I0i 2°, 3° следует, что все особенности списка и только они бимодальны.
§ 17. Вещественные, симметричные и краевые особенности
Здесь обсуждаются три обобщения теории критических точек функций и приведены таблицы простейших вырождений для вещественного случая, для симметричного случая и для случая функций на многообразии с краем.
17.1. Вещественные функции. Мы будем рассматривать гладкие вещественные функции с критическими точками 0 и критическими значениями 0. Ростки двух таких вещественных функций в 0 называются стабильно эквивалентными, если они становятся § 17]
вещественные и краевые особенности
217
эквивалентными (превращаются друг в друга Д-эквивалентно-стью, т. е. заменой независимых переменных) после прямого сложения с невырожденными квадратичными формами. Например, ростки функций f(x, у) = xs — у2, g(x, у, z) = Xs -j- у2 -f- Z2 стабильно эквивалентны. Ниже приведена классификация простых и унимодальных вещественных ростков е точностью до стабильной эквивалентности.
Простые ростки.
k> 4 Ei E7 Es
+ xk+1 x2y + yk_1 x3 ± yl x3 -(- i y3 x3 -f- ys
Замечание. A\k — ATik, А\ — Лв остальном указанные ростки не эквивалентны. Начало иерархии вырожденных особенностей вещественных функций следующее:
(классы, обозначенные . . ., образуют множество коразмерности 5 в пространстве функций с критической точкой 0 и критическим значением 0).
Унимодальные ростки (по В. В. Муравлеву и В. М. Закалюкину).
Обозначение
Нормальная форма
Ограничения
Параболические:
P з — ^з, з, з
^9 = ^2, 4, 4 Г _ T
x3 + ax2z + xz2 -(-+ x4-f aiV+У4 x3 jT ах2уг±хуі
агФ4, если +
a2=5^4, если -)—или —
агФ4, если -J-
a:3 + ®V + i!/0+i
±a:4±a:2f/3 + ay
.4 і .,,2,,3 I
a =^=0, &>0
±хгу2±хг ^r ays
±{x* + y-)2 + ^
афO1 r, s>4
¦r
a^O, r>4 J 90
критические точки гладких функций
[гл. ii
Продолжение
Обозначения Нормальная форма Ограничения
Гиперболические коранга 3:
Р&+к — T9, 3; 3+? a:s+a;2z уН + azk+s афО, fe>0
ЛЛ т —¦ Tз Im X (х2 yz) + yl + azm афО, m;»Z>4
Rm — f ' " 3, wi, т X (±x*+y*+z2) + aym афО, m>4
7V, Т г* axyz + xP± yq± zr афО, p-1 -f ?-* -f- r~J<l
п., — У m * р, mt m x (y2 -(- z2) + x? -(- aym афО, P-1JrZm-lCl
Исключительные:
E12. X3 -I- у7+ z2 + аху5, W13 ±х4 4- xy*±z2 4- ay*.
E із X3 + ху5+ Zi + ау8, Qw X3 + yzz±z* 4- axz3.
Еы X3+ у8 + Z2 4- аху9. Qn Xs 4- y2z±xz3 4- az5,
^i1 х3у + У*+zz 4- аху1, Q» X3 + y2z + z® 4- az*x.
Z із хау -j- ху*+ z2 -(- ахгу3, Sn z(xz + yz)±y* -\-ay3z,
Z19 х3У+ !/' + z2 4- аху5. S12 z (x2 4- yz) 4- xy3 Jr ay6.
W12 4" У5 ±zS 4- ахгу3. Ult X (xz + y2) + Z1 4" axyz2
Здесь а — вещественный параметр
Относительно приведения к этим нормальным формам особенностей общего положения справедливы те же теоремы, что в комплексном случае (стр. 145). Доказательства — методами §§ І1-16.
Замечание. Поскольку комплексные особенности уже расклассифицированы, можно рассмотреть вещественные формы каждой комплексной особенности. Все вещественно-простые особенности являются вещественными формами комплексно-простых, а вещественно-унимодальные — формами комплексно-унимодальных. Однако этот факт a priori не очевиден и получается лишь из сравнения независимо проведенных комплексной и вещественной классификаций.
Дело в том, что неизвестно, сохраняется ли модальность при комплексификации. Э. Б. Винберг указал пример представления вещественной группы Ли, для которого модальность точки при комплексификации растет; таково, например, естественное действие группы кватернионов в R4 (число модулей до комплексификации 0, а после комплексификации положительно).
Модальность критической точки при комплексификации не уменьшается (В. В. Муравлев), но неизвестно, может ли она расти, как в указанном выше примере.
17.2. min-ростки. Здесь приведена составленная В. А. Васильевым [31] таблица нормальных форм ростков гладких функций в окрестности точек минимума (с точностью до прибавления § 17]
вещественные и краевые особенности
219
константы и положительно определенной квадратичной формы от дополнительных переменных). Приведение к нормальной форме осуществляется гладкой заменой независимых переменных. Число I в таблице указывает, начиная с какого числа параметров семейства точки минимума рассматриваемого типа становятся неустранимыми малым шевелением семейства. В общих семействах функций с Z < 16 параметрами точки минимума, не эквивалентные перечисленным в таблице, не встречаются *).
Обозначение Нормальная форма Ограничения I
X2k A> 1 2k —2
^l, о = 4, 4 Xі + ах2у2 + У1 а> —2, 7
•^1,2T = = 4, 4+2г Xі + z V + ау*+2г а>0, 1 7 + 2r
Пг, Z1-- = ^2, 4+2г, 4+2g ,, xi+2r ах2.уг yi+2q а>0, г, г>1 7 -j- 2г + 2g
П,г = 4+г, 4+г (Xа- + у2)2 + ay*+' аф0, г>1 7 + 2r
WljO Xі + (a + by) хгу3 -f у* а2<4 12
ич (хг + У3)2-\-{а + by}x2y3+q а (—1)?<0, 12 + 2?
