Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Индекс особой точки векторного поля плохо поддается обобщению на случай многообразия с краем, но для дифференциальной 1-формы можно определить индексы краевых особенностей так, что будет иметь место формула Хопфа: эйлерова характеристика § 17]
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КРАЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
225
компактного многообразия с краем равна сумме индексов всех особенностей 1-формы. Вычисление этих индексов приводит к рассмотрению сигнатур квадратичных форм, естественно определяемых на соответствующих локальных алгебрах. В случае простых особенностей эти сигнатуры равны также сигнатурам форм, определенных при помощи сворачивания инвариантов соответствующих групп, порожденных отражениями. Анализ этого совпадения показывает, что сами формы двойственны. Эта двойственность весьма полезна для угадывания и доказательства различных теорем о нормальных формах. Например, эквивариантной лемме Морса «двойственна» следующая теорема: векторное поле, трансверсальное ласточкиному хвосту, локально выпрямляется диффеоморфизмом, сохраняющим ласточкин хвост. Дальнейшее развитие этой теории приводит, например, к классификации особых проекций общих поверхностей в R3 (10 вещественных простых нормальных форм *)). Подробности см. в 120], [66]; все простые проектирования гиперповерхностей найдены В. В. Горюновым.
Список простых проектирований гиперповерхностей (не обязательно неособых) на прямую оказался совпадающим со списком простых особенностей функций на многообразии с краем.
Унимодальные краевые критические точки функций также все расклассифицированы. G точностью до стабильной эквивалентности они исчерпываются следующими списками:
Унимодальные краевые особенности коранга 2 (см. [19]).
Обозначение С-нормальная форма Ограничения P-
i7I1O X3 + ахуг -j- у3 4в3 21 ф 0 6
Рг.р ахр+і хуг -I- у3 афО, р> 1 6 + ^р
^ З4 + У3 + a^y — 8
xsy + у3 + ах2у2 — 9
JfIO X5 + У9 + ах1У — 10
Kt, Z у1 -f- ахуг -f Xz агу=4 6
у* + ху*-\-ахЧ а=?0, ?> 2 д + 4
кР. г уР ху2 4- axi афО, />>4, 2 р + я
Kf, 2,-3 (х + у2)2 + ахРу афО, />>1 2р + 3
Kf, Zfl-I {х + у2)2 + ахР афО, р>2 2Р + 2
Kt у* х2у + ах3 — 8
К% у* -(- а;3 + ax2yz — 9
кг уЪ хг -+- аху3 — 8
») Поверхности Z—X, Xі, x3 Jrzy, Z3 ±ху2, X3+Xy3, Xi Y-XtJ, х*+х2у-\~хуг, Xbjr^y +ХУ'> проекция (х, у, z) H-(у, z). 15 в. И. Ариольд Я др. J 90
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[гл. ii
Унимодальные краевые особенности коранга 3(по В. И. Матову).
Обозначение K-нормальная форма V-
Lt = Diil 6
Л*.; + + ажг/і + хуг A + Z + 1
Я», о УІ+УІ + axyi +Xy2. 8
О УІ + УіУЇ + Oxy1 + ху2 9
^8, 0 Уі+УІ + ахуі + ху2 10
щ УІУг+УІЛ- хуг + ахуі 8
1 у\±у\ + хуі + аху\ 9
Dl УІУг±УІ±х2 + аху\ 8
В случав Le а2+1=?0, а в случае Dfci г афО, Z> 1, к + 1>Ы
Важнейшие примыкания
C2-B г*~В
t
,Г
^ '-J * A ^ 2
t t ' І f t
4,3
"5,3
t # ^4,3^ K9
Dl L=D
t 1
б -74,1
-D
Г
4,2
t t t s 17] ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КРАЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ 227
17.5. Тангенциальные особенности. Бифуркационные диаграммы простых краевых особенностей Bk помогают разобраться в особенностях взаимного расположения поверхности и ее касательных. Мы будем называть такие особенности тангенциальными.
Простейшим примером тангенциальной особенности является точка перегиба плоской кривой. Назовем линейный элемент плоскости особым, если он при продолжении касается кривой или если он приложен в точке кривой. В окрестности элемента обычной касательной особые элементы образуют в пространстве всех линейных элементов плоскости поверхность, диффеоморфную бифуркационной диаграмме B2, умноженной на прямую, а в окрестности элемента касательной перегиба — диффеоморфную бифуркационной диаграмме B3 (см. [19]).
Бифуркационная диаграмма Bk может быть описана как (X ? Rft: многочлен хк -f- X1Zft"1 . .. лй имеет нулевой или кратный корень.}
Рассмотрим гладкую поверхность в вещественном проектив-вом пространстве. Точки поверхности общего положения следующим образом подразделяются на 7 классов, независимо найденных Е. Е. Ландис и О. А. Платоновой.
Гладкая кривая параболических точек делит поверхность на эллиптическую и гиперболическую области. Точки перегиба асимптотических линий образуют гладкую иммерсированную кривую в неэллиптической области — линию перегибов. Кроме описанных двух областей и двух линий на поверхности общего положения встречаются особые точки следующих трех типов: точки простейшего касания линии перегибов с кривой параболических точек, точки простейшего самопересечения линии перегибов и точки простейших вырожденных перегибов (в которых линия перегибов касается асимптотического направления).
Эти 7 классов тангенциальных особенностей проективно инвариантны и устойчивы в том смысле, что при малом шевелении поверхности они не исчезают, а лишь немного деформируются.
Линейный элемент проективного пространства называется особым для данной поверхности, если он при продолжении касается поверхности или если он приложен в точке поверхности. Особые элементы ростка поверхности в точке определяются аналогично. Множество особых элементов для данной поверхности является гиперповерхностью в многообразии всех линейных элементов проективного пространства. Рассмотрим росток этой гиперповерхности в каком-либо касательном поверхности линейном элементе.
