Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Особенность Zfj р (?>1, i>0, р^>0) имеет нормальную форму
Z?, р: (а;2 + axyk + by*k+i) (я2 + y2k+2i+P), а0 ^ 0, o0 ф 0;
ее кратность р — 12к-\- 6i р — 3, модальность m. = 3A: —}— і — 2.
При A=I предыдущие формулы видоизменяются следующим образом:
1) верхний индекс, к, не указывается;
2) особенности Zit 0, Zeuiv Z6l412, Z6i+13 (і > 0) имеют нормальные формы вида / = yf2, где /2 дается предыдущей таблицей;
3) Zii >: у (Xs + Л/і+1 + bysi+p+s), 0, і > 0, р>0; р = = 9-f-6i + p, пг = г-+1.
В формулах этого пункта всюду
Ъ = ь0+ ... +b2k+i_^-\ C = C0+ ... +c2ft+j^fc+i-3. Особенности класса W:
Обозначение Нормальная форма Ограничения Кратность, Модальность, m
W12je W12k+1 ^fclO Wk, і х* -}- yik+1 + Uxy3k+1 + + сх2у2к+1 Xі + Xy3k+1 + -j- UX2IJ2k+1 + Cytic+2 Xі + Ъх2угк+1 + + ахузк+г + у*"+2 Xі + ClX3 ук+1 + + X2Jrjfc+1 + Ьуік+ 2+і ft > 1 к > 1 к > 1, =M і > O1 12ft 12ft + 1 12ft + 3 12ft + 3 + j 3ft —2 3 ft —2 3ft —1 3ft —1
13* J 90
критические точки гладких функций
[гл. ii
U родолжение
Обозначение Нормальная форма Ограничения Кратность, Модальность, m
wf, W\ik+t> (х2 -(- у2*:+х)2 _f_ (x2-f- jt^fcm)2 хугк+2 -f- + ox2jt2ft+2 4- Ьуік+Я Xі + jt4*+3 + -f- Clxyak+3 + Ьх*угІС+2 Я > 0, ь0 ф о <7 > 0, & 0Ф0 к > 1 к > 1 12ft 4- 2 4- 2q 12k 4- 3 -f- 2<7 12ft-f- 5 12ft 4-6 3ft— 1 3ft — 1 Зк — 1 3ft — 1
В этих формулах 6 = o0-f- ... + ^й-іУ2* с = C0-J- ... • • ¦ + с2к-2У2к~2' как и вск>ду, а = а0 -J- ... -J- ак_2ук~2 при /с>1 и а = 0 при & = 1. 15.3. Особенности коранга 3 с приведенной 3-струей. Кроме унимодальных особенностей серии T (см. п. 15.1) имеются 3 бесконечные серии классов таких особенностей: Q, S и TJ. 1. Серия Q. Особенности с 3-струей a;3-J- yz2 образуют бесконечную серию классов:
Обозначение Нормальная форма Ограничения Кратность, H- Модальность, m
Qk, о Qu.* Qtk+i Qtk+b Qtk+s <f -j- Ьхгук -(- Xyik f + x2jrfc 4- & jr3fc+'' f 4- j/3fc+14- Sxjr2fc+1 ср -)- xjt2fc+1 4- Ьузк+г у 4- jt3fc+2 4- Ъхугк+* А>1, bg =^ 4 A > 1, &„ ф О ft > 1 A > 1 ft > 1 6ft+ 2 6ft 4- 2 4- і 6ft+ 4 6? +5 6ft+ 6 к к к к к
В этих формулах <р = xz -J- yz2, Ь = Ь0 -}- ... -J- bA_1j/fc"1. 2. Серия 8. Особенности с 3-струей x2z -j- yz2 образуют бесконечную серию классов:
Обозначение Нормальная форма Ограничения Кратность, Iх Модальность, т
^12? о 9 + у4" + ахузк+ 4" czjt2fc+1 <р 4" Xy3k -)- Cytk+1 4- 4- azy^+1 <f 4- J/4fc+1 + ах jT3fc+1 + + uzjt2*+1 ЩфЬ 12ft — 1 12ft 12? 4-2 3 ft —2 3ft —2 3ft — 1 § 15]
списки особенностей
197
Продолжен не
Обозначение Нормальная форма Ограничения Кратность, jx Модальность, m
Skli f -)- x2j/2fc -)- ffx3[/fc + -)- by4t+1+'' ?>0, 12ft + 2 + і 3 к — 1
S* 0A-, 2q—l ф _f_ Zjr2fc+1 ЪхуЗк+q -)- ajr4fc+«+1 З > 0, b0 ^ 0 12 к + 2(7-)-1 3ft — 1
S* fr. ч о °12fc+4 <p zyVH-i + Ъхгуг1с+ч + -f аху^+і+1 <p + !(,злч-і azySk+г -)- fty4A+2 ? + J/4/c+2 + axy3k+2 -f + &Z!/2fc+2 <7>0, b0 ^O 12 к -)-2(7 + 2 12ft+ 4 12ft+5 3fc — 1 3ft — 1 3ft — 1
В этих формулах <р = x2z.-}-yz2, a = a0-j- ... -j-при a = 0 при & = 1; 6 = Ь0 + ... -\-Ь2к_гу21с~х, C = C0+ ... . . . + с2к_2у
Кроме того, имеются еще классы Sk (к 1), подразделяющиеся на Si, о, SPk, SQk, SMk, где ц (Sif0) = 12A —4, m(Sl,0)= ••• ... = т (SRk) = ЗА — 2, codim Sfc = 9fc — 3.
3. G е р и я Ї7. Особенности с 3-струей Z3-I-ZZ2 образуют бесконечную серию классов:
Обозначение Нормальная форма Ограничения Кратность, (j. Модальность, m
<p + Jr3fc+1 + ax^2fc+1 + + bzyzk+1 + dxzyk+1 — 12k Ak- 3
Ujc, Zq f + xy2k+1 + ахгук+1 + + Ьузк+2+1 + czy2fc+l+5 g > 0, C0 ф 0 12ft + 2 + 2? Ak- 2
Uk, Zq-I <p + Xy2fe4-1 + ахгум + + &Z!/2fc+1+« + CZ2yk+'' q> 0, C0^=O 12A + 1 +2 Ak- 2
Ul2k+4. <f> + y3fc+2 + Ctxyik+* + + & zy2k+2 + CX2JTfc+1 12ft+4 4ft — 2
В этих формулах <р = a;3 -j- xz2, с2 + 1 =^ О при q = 0; всюду
a = a0-j- ... +afc_2yfc_2 при А>1, а = 0 при А; = 1; b = b0-j- ... +Vafft"*3 ПРИ 6 = 0 при A = I;
с = с0+ ... + C2k-Iy2k"1, d = d0+ ••• + d^-2y2k~2-
Кроме того, имеются еще классы Uk (к^> 1), подразделяющиеся на классы CZfci0, UPk, UQk, URk, USk, UTk, для J 90
критические точки гладких функций
[гл. ii
которых
H>p(tfJ,o) = 12A —4, т (Ult 0) = ... = т (UTk) = Ak — 3, codim (U^) = Qk — 2.
15.4. Серия V. Особенности коранга 3 с 3-струей х2у подразделяются на классы Fx> f, Vfi, V*, где
Обозначение Нормальная форма Ограничения Кратность, jx Модальность, m
Fil0 х2у —z4 —az3y-\- bz2y2-\-zy3 Д (а, Ь0) ф 0 15 3
V1., X2у -f- z4 -j- bz3y -j- z V 4- 4- ауі+р Ь2 ф 4, а0 ф 0 15 4- P 3
Vb1-I Vtz1 х2у 4- z3y 4- ауЧ2 4- у* 4- + bxz2+t Aas 4- 27 ф 0 ЬофО 144-2 9 3
х2у + z3y + ay2z2 +IJi + 4- &z4+« 4а3 4- 27 ф 0 15 4-25 3
Здесь р^>0, д^>0, а=а0-\-а1у, Ъ = Ь0-\-Ь^. Особенности класса V* удовлетворяют условиям:
p(F*)>17, m(F*)>3, codim (F*) = 13.
15.5. Прочие особенности. Все особенности, нормальные формы которых не приведены выше, принадлежат следующим 7 классам:
Обозначение Коранг Примынания Определение с > V-> m > Теорема
N 2 N-+W13 /4 = 0 12 16 3 47—49
