Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема (О. А. Платоновой). Множество особых элементов для ростка поверхности общего положения в любой ее точке локальне диффеоморфно произведению бифуркационной диаграммы Bk на евклидово пространство R5_ft, где к — кратность пе-
і5* J 90
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[гл. ii
ресечения касательного к поверхности элемента с поверхностью (к—2 для неасимптотического элемента, 3 для обычного асимптотического, 4 для асимптотических элементов параболической линии и линии перегибов, исключая элементы, касательные к линии перегибов в точках вырожденного перегиба, где к =5).
Неособый линейный элемент определяет неособый росток проектирования поверхности (пучком прямых из точки приложения элемента). Стратификация многообразия особых элементов, с учетом расположения стратов относительно слоев расслоения PrRP3-VRP31 приводит к классификации ростков проектирований гладких поверхностей общего положения в RP3 пучками прямых. Классов 14: 10 и хг+ ху*', хь-\-ху, Xі -j- х%у -j- ху3.
Тангенциальные особенности естественно возникают также в задачах дифракции и в вариационной задаче о скорейшем обходе препятствия, где они и встретились О. А. Платоновой.
С другой стороны, Н. Н. Нехорошев в своем исследовании эволюции переменных действия в гамильтоновых системах, близких к интегрируемым, ввел показатели крутизны 04, . . ., невозмущенной функции Гамильтона H в области G пространства R".
Назовем г-мерную плоскость Л допустимой в точке х из G, если точка X критическая для сужения H на Л. Обозначим множество всех допустимых в X плоскостей через Mx, и пусть /а = =grad (HIА). Число ar ^ 1 называется r-мерным показателем крутизны HbG, если оно является точной нижней гранью чисел а, для которых 3A>03&>0: VS 6(0, S) Эп ? (0, SJ: VA?MX Vx?G Vу (і Л; из \х — у | = 7] вытекает | /д (у) | > К%*.
Е. Е. Ландис обнаружила связь показателей агс тангенциальными особенностями поверхностей уровня функции Гамильтона. Из ее результатов следует, что для функций Гамильтона общего положения, зависящих от п переменных, 04^2/1+1; при п— 3 также а2 ^ 2, причем указанные значения достигаются устойчивым образом. Таким образом, классификация тангенциальных особенностей однопараметрических семейств поверхностей позволяет вычислить все показатели крутизны функций Гамильтона общего положения в каждой точке для систем с двумя и тремя степенями свободы.
Тангенциальные особенности связаны также с особенностями отображения, сопоставляющего касательному линейному элементу поверхности содержащую его проективную прямую.
Рассмотрим пучок геодезических на поверхности в евклидовом трехмерном пространстве. Сопоставим каждой точке поверхности направление геодезической (точку на сфере). На некоторой кривой на поверхности геодезические пучки касаются асимптотических линий. В этих местах построенное отображение на сферу имеет особенности: складку в общей точке и сборки в исключительных. l'JIABA III
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
Одним из наиболее успешных приложений теории особенностей является приложение к исследованию особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов. С математической точки зрения эти задачи связаны с особенностями общего положения отображений весьма специального вида: лагранжевых и лежандро-вых. В этой главе изложены начала теории лагранжевых и лежан-дровых особенностей; в § 21 приведена классификация особенностей каустик общего положения в пространстве не более 10 измерений и особенностей волновых фронтов общего положения в пространствах не более 11 измерений.
При движении волнового фронта его особенности скользят вдоль каустики и в отдельные моменты времени испытывают перестройки. Мы приводим в § 22 классификацию перестроек волновых фронтов в однопараметрических семействах общего положения в пространствах не более пяти измерений, а также классификацию перестроек каустик в однопараметрических семействах общего положения в пространствах не более трех измерений.
§ 18. Лагранжевы особенности
Каустику можно видеть на стене, освещенной лучами, отраженными от вогнутой поверхности (например, поверхности чашки). Двигая чашку, можно убедиться, что каустики общего положения имеют лишь стандартные особенности, а все более сложные особенности распадаются на стандартные при малом шевелении. В этом параграфе строится аппарат исследования особенностей каустик — теория лагранжевых особенностей.
18.1. Симплектические многообразия. Каустика — это огибающая семейства лучей. Семейств'а лучей описываются в геометрической оптике (или в классической механике) при помощи так называемых лагранжевых подмногообразий фазового пространства. В этих терминах каустика — это множество особых значений проектирования лагранжева подмногообразия из фазового пространства на конфигурационное. Мы начнем с напоминания основных определений геометрии фазовых пространств.
Симплектической структурой на многообразии M называется замкнутая невырожденная 2-форма ш. 228
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУІЩЦЙЙ
[ҐЯ. It
ресечения касательного к поверхности элемента с поверхностью (к = 2 для неасимптотического элемента, 3 для обычного асимптотического, 4 для асимптотических элементов параболической линии и линии перегибов, исключая элементы, касательные к линии перегибов в точках вырожденного перегиба, где к =5).
