Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
к X9 исключены. Примыкания к J1Q исключаются доказательством теоремы 6i.
Из 1°, 2°, 3° следует, что все особенности списка и только они просты.
Доказательство теоремы о классификации унимодальных особенностей.
1°. Всякая не простая особенность либо принадлежит списку унимодальных особенностей п. 15.1.1 (стр. 192), либо примыкает к одному из следующих девяти классов особенностей: /Зі0, W1 0, Zi.o» JV, Q2i0, ^i1Oi Uuo, V, О (эти девять классов мы будем называть огораживающими классами для унимодальных особенностей).
Доказательство вытекает из теорем 1—5, 6i ,—9i 2, Ю2, Иг. 13—17, Ie1-21ь 222, 232 , 25, 30ь 36ь 37ь 47, 48, 50—58, 59i—62i, 632, 642, 66, 67i—71j, 82, 83і—86ь 97, 98, 105. Теоремы 10, 22, 29, 36, 47, 63, 79, 85, 98 используются не целиком (нужен лишь первый случай в каждой из них).
2°. Модальность каждой особенности списка не меньше 1, а модальность каждой особенности любого из девяти огораживающих классов больше 1.
Первое вытекает из того, что все особенности списка примыкают к P8, X9 или J10, а второе — из того, что внутренние модальности огораживающих особенностей больше 1. § 16] определитель особенностей
215
3°. Особенности списка не примыкают к огораживающим.
Квадратичные формы особенностей всех огораживающих классов имеют не менее двух положительных квадратов (см. [7]). Положительный индекс инерции квадратичной формы особенности полунепрерывен (см.л например, [77 J). ^Положительный индекс инерции квадратичных форм особенностей Tp >Ґ меньше двух (см. [41]). Следовательно, примыкание особенноеTenTjlt г (как параболических, так и гиперболических) к огораживающим особенностям невозможно. HraK1 все особенности Tft4tr унимодальны.
Огораживающие особенности коранга 2 имеют р. > 154 а для всех исключительных особенностей р. 14. Следовательно1 примыкание исключительных особенностей к огораживающим коранга 2 невозможно.
К огораживающим особенностям коранга* большего AByx1 могли бы примыкать из исключительных особенностей лишь особенности коранга 3. Но огораживающие особенности коранга, большего двуХі имеют [л. > 14, а исключительные — р ^ 12. Поэтому такие примыкания также невозможны.
Из I0i 2°1 3° следует^ что все особенности списка и только они унимодальны.
Доказательство теоремы о классификации бимодальных особенностей.
1°. Всякая не простая и не унимодальная особенность либо принадлежит списку бимодальных особенностей п. 15.1.2 (стр. 193), либо примыкает к одному из девяти классов: Jit0j X3t0, Z2i0, Ж, Q3t0, Slt0, Ult0, V, О (эти девять классов мы' будем называть огораживающими классами для бимодальных особенностей).
Доказательство получается добавлением к теоремам, указанным в 1° предыдущего доказательства, теорем 6з—Из, 122, 182—212, 223, 233, 242, Зіі— 35ь 362, 372, 592—622, 633, 643, 652, 72t—76i, 772, 782, 87i, 89i, 902, 912, 99. При этом теоремы IO3, 223, 362, 633, 772> 902 используются не целиком (нужен лишь первый случай в каждой из них).
2°. Модальность каждой особенности списка не менее 2t а модальность каждой особенности любого из девяти огораживающих классов больше 2.
Первое вытекает из Toroi что все особенности списка примыкают к особенностям девяти классов квазиоднородных особенностей огораживающих унимодальные особенности,, а для особенностей этих классов внутренняя модальность не меньше 2.
Второе вытекает из Toro1 что внутренняя модальность квазиоднородных особенностей огораживающих бимодальнь^ больше 2.
3°. Особенности списка не примыкают к огораживающим.
Квадратичные формы всех особенностей из списка имеют ровно Два положительных квадрата в нормальной форме и невырождены J 90
критические точки гладких функций
[ГЛ. ii
(см. [7], [40]—[42]). Квадратичные формы огораживающих особенностей, исключая Ж, Vk О, имеют два положительных и два нулевых квадрата. Квадратичная форма продеформированной особенности изоморфна сужению формы исходной особенности на подпространство. Это исключает все примыкания особенностей списка к огораживающим, отличным от Ж, Vu О.
Примыкания к О исключены полунепрерывностью коранга, примыкания к V исключены стратификацией кубических форм (теорема 50). Примыкания имеющих коранг 2 ростков списка к Ж исключены полунепрерывностью порядка функции в нуле.
4°. Примыкания особенностей коранга 3 из списка к Ж невозможны. Более того, функции трех переменных с приведенной 3-струей не могут примыкать к классу Ж.
Действительно, пусть /=/3+/4+- • • — разложение в ряд Тейлора с приведенной (т. е. не содержащей кратных множителей) кубической формой /3. Пусть ср = ср2+Тз+• • • —малая добавка. Если /+ ср класса Ж, то существует функция и с некритической точкой в нуле такая, что /+cp=u2 mod ш5. Пусть и =U1+U2+ +M3 mod т4 — первые члены разложения Тейлора для и. Тогда
Cp2 = и?, /3 + Cp3 = 2цхц2, /4 + <р4 = 2 U1U3 +- ц|.
Эта система уравнений относительно и должна быть разрешимой при некоторых сколь угодно малых ср, причем U1=^=O. Следовательно, /з распадается в произведение линейного и квадратичного множителей, /3 =F1F2, таких, что нули U1 близки к нулям F11 а нули и2—к нулям Fi: U1- є (F1 + aj, u2 = (F2 + ?3)/2e, где число є, линейная форма Ct1 и квадратичная форма ?2 малы. Теперь из последнего уравнения заключаем, что существуют сколь угодно малые е, ср4) Ct1 и ?2 такие, что 4є2 (/4+?4) — (Z12+ +?2)2 делится на ^1+Oi1. Стало быть, F\ делится на F1, вопреки приведенности /3.
