Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
1) при переходе от (ПУИУ)ft к (VWW)/1 выбирался первый отличный от нуля коэффициент сг (в доказательстве леммы 1);
2) при переходе от (VWV)ft к (ИУ)^ имеется ссылка на п. 6.6.
Но: 1) отличный от нуля коэффициент зависит от /, а не от
ft; 2) в п. 6.6 показано, что из (Vbiy)ft вытекает возможность выбрать гладкое по t решение (**) при всех t из [0,1] с помощью разбиения единицы.
Итак, мы построили гладкое решение уравнения (**). Остается добиться обращения полей ht и kt в нуль в начале координат. Напомним, что / — (ИУ)-росток отображения в Rn и что /, = = /-f-Zcp, где <р6«п?+20-
*) При применении гомотопического метода имеется некоторая тонкость:
коммутативность следует записать так, чтобы после дифференцирования аргументы в левой и правой частях совпадали. І50
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
" [ГЛ. I
Предложение 1. Если а имеет п-й порядок малости в нуле (а ^ ш"9), то существует гладко зависящее от t разложение
aH=jIr M*)+MM*)) ^ адо)=О.
Доказательство. По лемме 1 для а существует разложение (VWW)р в котором Ci==O- При переработке этого разложения в доказательстве леммы 4 коэффициенты Ci не меняются ни при переходе (УИУ), (UVHY)ft, ни при переходе (UVllY)ft^(VVlY)fl. При переходе (VttY)ft-* (RY)ft мы получаем kt (0) = Yfieі (gm. п. 6.6). Следовательно, kt (0) = 0, что и требовалось.
Предложение 2. Для существования гладко зависящего от t решения уравнения инфинитезимальной устойчивости
«(*)=--ЙЛ(*)+ММ*)) (**)
с любым а из в необходима и достаточна разрешимость при любой функции a ^ Ax уравнения относительно матриц II и JK:
aE=—ft*H-\- К. (***)
Здесь H — матрица порядка тХп, элементы которой — функции от X и а К — п X га-матрица, элементы которой — функции от y—ft(x) и t (рассматриваемого класса гладкости); JS — единичная матрица порядка п.
Доказательство, s-e столбцы матриц H и К дают решение уравнения инфинитезимальной устойчивости с левой частью а(х)=а(х)ев.
Предложение 3. Пусть
uE = -ft.Hll + Ku, vE = —ft*Hv + Kv.
Тогда
uvE = —ft,Hlv + Ku„
где
Hw = VlTu +HtKu, Km = KvKu.
Доказывается непосредственной подстановкой.
Замечание. Из предложения 3 легко вывести, что для инфинитезимальной устойчивости достаточна разрешимость т матричных уравнений (***) с ?=?, . . ., хт.
Предложение 4. Если a ? mj, то существует решение (На, Ka) уравнения (***), для которого Ka (t, 0) = 0.
Доказательство. См. предложения 1 и 2.
Предложение 5. Если а m?+1, то существует решение (На, Ka) уравнения (***), для которого Ha(t, 0)~0, Ka(t, 0) = 0.
Доказательство. Представим а в виде uv, и ntj, v ^ По предложению 3 можно взять Hwa = VHtl + HeKu, Kta = KvKu. § 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Ю5
По предложению 4 можно считать Ku (t, 0) = 0, что и дает искомое решение.
Теперь мы закончим доказательство теоремы.
Из предложения 5 и доказательства предложения 2 следует разрешимость гомологического уравнения (* *) для а ? в классе гладко зависящих от t полей ht, kt, обращающихся в 0 в начале координат. Но по условию теоремы <р ш"+29. Итак, мы построили гладкое по t решение ht, kt гомологического уравнения с левой частью а = ср, обращающееся в 0 в начале координат. Поля hf и к{ определяют искомые локальные диффеоморфизмы Ht и Kt вблизи х = 0 и у = О при всех t ^ [0,1], на чем доказательство теоремы и заканчивается.
7.2. Иифинитезимальная устойчивость и трансверсальность орбите. Пусть /: (Rm, 0) -?- (R", 0) — росток гладкого отображения.
Определение. Малым пространством к-струй отображений из R™ в Rn называется пространство /с-струй в нуле отображений, переводящих 0 в 0. Обозначение: /* п (т, п).
Средним пространством к-струй отображений из Rm в R" называется пространство /t-струй отображений из Rm в R" в нуле. Обозначение: Jl (т, п).
Большим пространством к-струй отображений из Rm в R" называется пространство A-струй отображений из Rm в R" во всех точках. Обозначение: Jk (т, п).
Группы А-струй левых и правых замен переменных, оставляющих на месте 0 в R" и в Rm соответственно, действуют на малом пространстве струй.
Определение. Малой орбитой к-струи f в нуле называется орбита зтой струи под действием указанной группы (й-струй лево-правых замен, сохраняющих 0x0) в малом пространстве струй.
Параллельные перенесения в Rm и в R" определяют (неканонические, но полезные) проекции, расслаивающие бблыпие пространства струй над меньшими.
Пример. Пусть т=п=1. Тогда 1-струя задается тремя числами: х, у, p—dyfdx. Пространства 1-струй суть пространства
{(х, у, р)), {{у, р)} и {р}
соответственно. Проекции суть
(х, у, р)^{у, р), (у, р)^-(р), (X, у, р)>-+(р).
Малая орбита 1-струи функции f(x)=x2 в нуле состоит из точки р=0 малого пространства струй \р).
Определение. Средней и большой орбитами к-струи / называются полные прообразы малой орбиты при введенных проектированиях среднего"^ большого пространства^струй на малое. 108
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
Пример. Средняя орбита 1-струи функции f(x)—x2 в нуле — это прямая р = 0 на плоскости {(у, р))-, большая орбита — это плоскость P=0 в трехмерном пространстве {(х, у, р)}.
