Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
113
Пусть F': (А', 0) —> (М, /) — любая деформация точки /. Введем обозначения: сГ1 (F' [У)) = (? (к'), у (У)) Є К X F (A)1 F-1T^cp: (А', 0) -> (А, 0). Тогда F' (У) = ? (X') (ср(У)), что и требовалось доказать.
Наша цель — перенести эти построения на случай, когда M — функциональное пространство гладких отображений, a G — ка-кая-либо бесконечномерная группа преобразований (построенная из замен независимых или зависимых переменных, умножений на функции, сложений с функциями и т. д.). Говоря о версальной деформации, мы должны всегда указывать, о каком действии (т. е. о каких допустимых преобразованиях) или о какой эквивалентности идет речь.
Рассмотрим, например, случай правой эквивалентности функций.
Пусть /: (R"1, 0)->R—росток гладкой функции. Деформацией ростка f с базой А = R2 называется росток в нуле гладкого отображения F: (R"* X 0)~>R, для которого F (x, 0)==/(ж). Деформация F' (право) эквивалентна деформации F, если
F1 (х, l)==F(g(x, X), X),
где g: (R'" X R', 0)-^(R"\ 0) —гладкий росток, g(х, 0)==ж. Деформация F' индуцирована из F, если
F'(x, X')==F(®, ?(У)),
где ср: (R'', О)-»-(R', 0)—-гладкий росток.
Таким образом, деформация F ростка / (право- или R-) вер-салъна, если всякая деформация F' этого ростка представима в виде
F'(x, \')~F(g(x, У), ср(Х')), g{x, 0)3=*, ср(0) = 0. (1)
Задача 1. Доказать, что деформация ж2+X ростка ж2 в пуле Д-версальна (т. е. право-версальна).
Задача 2. Доказать, что росток функции f(x)~0 не имеет конечномерной і?-версальной деформации.
В случае лево-правой (RL-) эквивалентности соотношение (1) заменяется на
F'(x, y)==k(F(g(x, У), ср(Х')), X'), (2)
где g(x, 0) = ж, к (у, 0)=sy, 9(0) = 0.
Задача 3. Доказать, что 0-параметрическая деформация X2 ростка X2 і??-версальна.
Y-эквивалентность деформаций FuF' одного и того же ростка / определяется условием (ср. п. 6.5)
F'{x, Х)==АГ(®, X)F(g(x, X), X).
8 В. И. Арнольд и др. І50
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
" [ГЛ. I
Поэтому V-версалъность деформации F ростка / определяется как возможность представить любую деформацию этого ростка в виде
F'(x, X') — M (х, y)F(g (х, X'), <р (V)), (3)
где матрица M (0, 0) невырождена, g (х, 0)=х, ?(O)==O.
Задача 4. Доказать, что деформация ростка ж2
F-версальна.
8.2. Инфинитезимальная нереальность. Теорема п. 8.1 утверждает, что для версальности достаточна трансверсальность пространства скоростей деформации к орбите действия группы. Аналогичная теорема справедлива и в бесконечномерных случаях, которые нас интересуют. Предположим, что мы фиксировали группу допустимых преобразований (правые или левые диффеоморфизмы и т. п.).
Определение. Касательным пространством к орбите ростка / называется линейное пространство скоростей изменения / под действием однопараметрических семейств допустимых преобразований.
Замечание. Отличие этого определения от обычного состоит в том, что наша группа, вообще говоря, не действует на рассматриваемом пространстве ростков в точке (так как в груше мы допускаем переносы начала координат).
Пример 1. Касательное пространство к Д-орбите (орбите действия правых замен) ростка отображения / : (R™, 0) -> R" — это ^-модуль функций, представимых в виде (ср. п. 6.6)
т
Пример 2. Касательное пространство к ЛЬ-орбите того же ростка состоит из всех вариаций / вида (ср. п. 6.6)
т »=і
Это линейное пространство является ^-модулем, но не Ax-модулем.
Пример 3. Касательное пространство к V-орбите того же ростка состоит из всех вариаций / вида (ср. п. 8.2 и п. 6.6)
т «¦=1
Это — JLa-MO дуль. BEPC А ЛЬ HbIE ДЕФОРМАЦИИ
115
Пусть F — деформация ростка / с базой Ли X1, . . ., X, — координаты на базе (X(O) =0). Начальными скоростями деформации. F ия.чыпятптля ппг.тки
ции F называются ростки
,!,...,I.
Xl.....
d\t
x=o
Пример. Пусть F(x, X) =ж3+Х1х+Х2 — деформация ростка f(x) =X3 в нуле. Начальные скорости этой деформации: F1 =х, Fi =1.
On ределение. Деформация F ростка / называется инфинитезимально версальной, если ее начальные скорости вместе с касательным^пространством к орбите ростка / порождают все линейное пространство вариаций ростка /.
e^fJJ р и мер. Деформация F(x, X) =^-J-X1SH-X2 ростка f(x)=a? вынуло право-инфинитезимально версальна. Действительно, касательное "пространство к'орбите правых~замен есть (состоит из всех ростков вида 3x?-h(x), где h — гладкий росток). Но всякий росток гладкой функции в нуле представим в виде" а (ж) =3^2? (ж) 4~
-sTC1X-iTCi-
Теорема. Условия инфинитезимальной версальности деформации F ростка /: (Rm, 0) —> (R", 0) для правой, "лево-правой и V-эквивалентностей состоят в существовании для каждой вариации а. ростка /*"представлений
т I
а (х) = 2 К (х) 2 c^i (x^ (R-eeреальность);
»=1 1 »=i
т I
а (х) ^s 2 h* № + (aO) + 2 0^i ^ (RL-версалъность); <=1 * »=i т it I
а (х) — 2 lk h' ^ 2 fJ ^ kJ ^ + 2 0^i ^ (V-версальностъ).
>=1 J=I І—-1
Доказательство получается из определений версальности (1), (2), (3.) п. 8.1 дифференцированиями. Эти же дифференцирования показывают, что версальная деформация инфинитезимально версальна.
